Rumore di Nyquist ed equilibrio termico

Question

Lascia che ci siano due resistori identici a elementi concentrati $R_1=R_2$ le cui capacità termiche sono uguali e date $C_1=C_2$. Assumiamo che le resistenze siano collegate ai termostati, uno a temperatura$T_1$ e l'altra a temperatura $T_2$ ma $T_1 \ne T_2$. Separare ora le resistenze dai rispettivi termostati e collegare le resistenze con una linea di trasmissione che abbia una perdita molto bassa (idealmente senza perdite), e tale che il suo conduttore metallico abbia anche una conducibilità termica molto bassa (idealmente zero). So che questa è una contraddizione per Wiedemann-Franz, ma assumila per motivi di discussione. Mi aspetto che a causa del rumore di Nyquist emesso dalle resistenze alla fine arriveranno a una temperatura comune, e poiché assumiamo capacità termiche uguali,$C_1=C_2$, la temperatura comune sarà $(T_1+T_2)/2$.

Ora da qualche parte lungo la linea di trasmissione la cui impedenza d'onda è $Z_0=R_1=R_2$ posizioniamo un filtro reattivo lossless ideale e / o un trasformatore di impedenza ideale ($I_2=I_1/N, V_2=NV_1$). Come si equilibrerà il sistema se non tutte le frequenze sono lasciate passare dal filtro (ad esempio, il trasformatore non funziona a$f=0$)? Qual è l'equazione che descrive lo sviluppo della temperatura di ciascun resistore quando le onde di rumore vengono scambiate tra di loro?

Answer 1

La potenza termica elettrica disponibile su ciascun resistore è data da kTB, dove k è la costante di Boltzmann, T è la temperatura in Kelvin e B è la larghezza di banda in Hertz attraverso la quale si osserva il rumore. La potenza fluirà dal resistore caldo al resistore freddo a una velocità k (T1-T2) B. Il risultato sarà una convergenza esponenziale su una temperatura (T1 + T2) / 2 con una costante di tempo C / kB.
La domanda, ovviamente, è cosa assumere per la larghezza di banda, B. Il rumore elettrico termico è approssimativamente costante fino a una frequenza di kT / h dove h è la costante di Planck. Qualsiasi rete elettrica avrà una larghezza di banda molto inferiore a questa. Puoi ragionevolmente prendere B come integrale rispetto alla frequenza del coefficiente di trasmissione di potenza tra i due resistori attraverso il circuito che li collega. Le specifiche di quali frequenze vengono passate e quali vengono interrotte sono irrilevanti poiché l'energia si equilibra rapidamente attraverso le interazioni elettroniche, ecc.