Scambio $L^p$ norma e integrale

Question

È vero che $$\left\|{\int_0^T}f(x,t)dt\right\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}\leq\int_0^T\|f(\cdot,t)\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}dt$$ dove $T\leq{\infty}$?

Posso provare una disuguaglianza simile nell'ASE $T<\infty$, usando la disuguaglianza di Holder e il teorema di Fubini per ottenere $$\left\|{\int_0^T}f(x,t)dt\right\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}\leq{T^{1/p'}}\left(\int_0^T\|f(\cdot,t)\|_{L^p}^pdt\right)^{1/p}$$

ma non riesco a vedere come raggiungere la disuguaglianza finale da qui, e non riesco a vedere che sarebbe vero per il caso $T=\infty$.

Answer 1

Un modo elegante per dimostrare la disuguaglianza $\|\int f d\mu\|\le \int \|f\| d\mu$ per funzioni con valori in uno spazio di Banach $(X,\|\cdot\|)$ è la formula della norma $\|x\|=\sup\{ |\phi(x)|: \phi\in X^*, \|\phi\|^*\le 1\}$(che è una conseguenza di Hahn-Banach). Per$\phi\in X^*$ con $\|\phi\|^*\le 1$ ottieni $$ \left|\phi(\int fd\mu)\right|=\left|\int \phi(f)d\mu\right|\le \int \|f\|d\mu$$ dove l'ultima disuguaglianza usa solo la monotonia dell'integrale.