Se E è misurabile, la misura interna ed esterna potrebbero differire?

Question

Mi sono bloccato in questa domanda e non riesco a trovare un controesempio. Ho dimostrato che questo è vero:

Se ${|E|_e}<\infty\Rightarrow$ E è misurabile $\Leftrightarrow{|E|_i}={|E|_e}$. Dove${|E|_i}$ e ${|E|_e}$stand risp. per misura interna ed esterna. Ebbene, non riesco a trovare un controesempio nel caso in cui E ha una misura esterna infinita. Il mio libro dice che non è vero ma non mi viene in mente nulla. Tutto ciò a cui penso ha un sottoinsieme chiuso con misura infinita, quindi l'equivalenza è ancora valida. Per trovarne uno, dovrei trovare un insieme i cui sottoinsiemi chiusi hanno tutte misure finite o tali da non essere misurabili, giusto? Qualche idea o suggerimento?

Ps per chi non lo sapesse, la misura interna di E è definita da ${|E|_i}$= sup | F | dove F$\subset$E è chiuso.

Answer 1

Ecco un semplice controesempio: un insieme non misurabile $E$ tale che $|E|_i=|E|_e=+\infty$

Permettere $A$ essere un sottoinsieme non misurabile di $[0,1]$. Prendere$E=(-\infty,-1] \cup A$. Chiaramente$E$non è misurabile. Abbiamo anche quello$$ |E|_i \geqslant |(-\infty,-1] |_i =+\infty$$ e $$ |E|_e \geqslant |(-\infty,-1] |_e =+\infty$$ Quindi, abbiamo $|E|_i=|E|_e=+\infty$.