Si può semplificare questa mostruosa espressione?
$\sqrt{\left( r_d \cos\left(\frac{-4(C - X) \csc(2α)}{Z}\right) + r_p \left(\frac{2C \tan(α) - 4 (C - X) \csc(2α))}{Z}\right) \sin\left(\frac{-4 (C - X) csc(2α)}{Z}\right) - m X \tan(α) \sin\left(\frac{-4 (C - X) \csc(2α)}{Z}\right)\right)^2 + \left( r_d \sin\left(\frac{4(C - X) \csc(2α)}{Z}\right) - r_p \left(\frac{2C \tan(α) - 4 (C - X) \csc(2α))}{Z}\right) \cos\left(\frac{-4 (C - X) csc(2α)}{Z}\right) + m X \tan(α) \cos\left(\frac{-4 (C - X) \csc(2α)}{Z}\right)\right)^2}$
- $r_d = r_p + m X - m C$
- $r_p = \frac {m Z}{2}$
- $m$è positivo
- $α$è tra$0$e$\frac π 4$
- $Z$è un numero intero positivo
- $X$è compreso tra -1 e +1
- $C$è compreso tra 1 e 1,5
L'ho fissato finché non sono strabico, ma non riesco a trovare un modo per scomporlo. Non è per una classe, quindi non ho risorse a cui fare appello.
Contesto:
Sto cercando di trovare il raggio di un punto sulla curva definita dalle espressioni parametriche$$x = r_d \cos(γ) + r_p \left(\frac{2C \tan(α)} Z + γ\right) \sin(γ) - m X \tan(α) \sin(γ),$$ $$y = r_d \sin(γ) - r_p \left(\frac{2C \tan(α)} Z + γ\right) \cos(γ) + m X \tan(α) \cos(γ)$$
Nello specifico, il punto a$γ = \frac{-4(C - X) \csc(2α)}{Z}$. Il mio istinto per risolverlo è stato quello di collegare il valore e utilizzare il teorema di Pitagora, che ha creato l'espressione oggetto di questa domanda. Se c'è un modo migliore per trovare questo raggio, mi piacerebbe provarlo.
Aggiornamento: cercando di semplificare le espressioni di base, posso espandere le istanze di$r_d$e$r_p$e poi scomporre il$m$da tutti e tre i termini, e posso escludere il$\sin$e$\cos$degli ultimi due termini, ma non vedo come sfruttarlo a vantaggio...
Risposte
Spesso è molto meglio semplificare il prima possibile. In questo caso, il parametro parametrizzato$x$e$y$valori al valore specificato$\gamma_0 := -4(C-X)\csc(2\alpha)/Z$riduce abbastanza bene:
$$\begin{align} x &=\tfrac12 mZ \left(\;\cos\gamma_0 + \gamma_0 \cos\alpha \sin(\alpha+\gamma_0)\;\right) \tag1\\[4pt] y &=\tfrac12 mZ \left(\;\sin\gamma_0 - \gamma_0 \cos\alpha \cos(\alpha+\gamma_0)\;\right) \tag2 \end{align}$$
Da lì, otteniamo facilmente$$x^2+y^2 = \tfrac14m^2Z^2\left(\;1 + \gamma_0 \sin 2 \alpha + \gamma_0^2\cos^2\alpha\;\right) \tag3$$(Comodamente, non ci sono$\gamma$s all'interno delle funzioni trigonometriche.)
Se vuoi, puoi espandere$1=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$e$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$, raggruppare e scrivere$$x^2+y^2 = \tfrac14m^2Z^2\left(\;\left(\gamma_0\cos\alpha+\sin\alpha\right)^2+\cos^2\alpha\;\right) \tag4$$
A questo punto, in espansione$\gamma_0$esplicitamente a$-4(C-X)\csc(2\alpha)/Z$non sembra dare nulla di particolarmente carino, quindi lo lascerò al lettore.$\square$
Come un po' un prequel, solo sostitutivo$r_d\to r_p+mX-mC$e$r_p\to mZ/2$nelle equazioni parametriche di OP fornisce la semplificazione$$\begin{align} x &= \tfrac12 mZ \left(\; \cos\gamma + \gamma \sin\gamma +\gamma_0 \sin\alpha\cos(\alpha+\gamma) \;\right) \tag{0.1}\\[4pt] y &= \tfrac12 mZ \left(\; \sin\gamma - \gamma \cos\gamma +\gamma_0 \sin\alpha \sin(\alpha+\gamma) \;\right) \tag{0.2} \end{align}$$insieme a$\gamma_0$come sopra. Da questi, otteniamo$$x^2 + y^2 = \tfrac14 m^2Z^2 \left(\; 1 + \gamma_0 \sin2\alpha + \gamma^2\cos^2\alpha + (\gamma-\gamma_0)^2 \sin^2\alpha \;\right) \tag{0.3}$$quando$\gamma=\gamma_0$, abbiamo quello$(0.1)$,$(0.2)$,$(0.3)$ridurre a$(1)$,$(2)$,$(3)$.