Somma su coefficienti binomiali

Question

Voglio scoprire se la seguente somma ha una forma chiusa: $$\sum_{j=0}^N{j+k-1\choose k-1}{N-j+k-1\choose k-1}$$

Ho provato a riscrivere la somma in modo da poter utilizzare la seguente forma dell'identità di Vandermonde: $$\sum_{m=0}^n{m\choose j}{n-m\choose k-j}={n+1\choose k+1}$$ ma non sono riuscito ad arrivare a nessun risultato.

Answer 1

Suggerimento: stai andando bene! Usando quello che metti lì avrai bisogno$n-(j+k-1)=N-j+k-1$ implica $n=N+2k-2$ e hai anche quello $2k-2-(k-1)=k-1$ Quindi prendi il $k$ nella seconda equazione essere $2k-2.$