sommando questa serie binomiale

Question

Ho trovato una domanda davvero interessante che è la seguente: Dimostrare che il valore di $$\sum^{7}_{k=0}[({7\choose k}/{14\choose k})*\sum^{14}_{r=k}{r\choose k}{14\choose r}] = 6^7$$

il mio approccio:

Ho provato a semplificare il sigma più interno oltre a provare a semplificare usando ${n\choose k}=n!/k!(n-k)!$ tuttavia non riesco a procurarmi questo.

La mia ipotesi è che la somma si semplifichi in una serie standard, ma non posso dirlo con certezza. Gentilmente aiutami.

Answer 1

Prima di tutto non credo che la tua somma sia corretta. I limiti sulla somma esterna dovrebbero essere $k=0$ per $7$, Credo, altrimenti il ​​valore non lo è $6^7$. (Domanda ora corretta)

Sei sulla strada giusta che riscrivere i coefficienti binomiali in termini di fattoriali aiuterà. Sebbene i fattori all'interno della somma siano finiti$r$non semplificheranno molto da soli. La soluzione è portare il fattore$1/\binom{14}{k}$nella seconda somma. Questo ci dà$$ \left.\frac{r!}{k!(r-k)!}\frac{14!}{r!(14-r)!}\right/\frac{14!}{k!(14-k)!} = \frac{(14-k)!}{(r-k)!(14-k)!}\ . $$ Questo può essere riconosciuto come $\binom{14-k}{r-k}$. Nota che la somma interna proviene da$r = k$ per $14$, possiamo lasciare $t = r-k$e modificare i limiti in $0$ e $14-k$. Questo trasforma la somma interna in$$ \sum_{t=0}^{14-k} \binom{14-k}{t} = 2^{14-k}\ . $$ La somma esterna può ora essere valutata, $$ \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} 2^{14-k} = 2^7\sum_{k=0}^{7}\binom{7}{k} 2^{7-k} = 2^7(1+2)^7 = 6^7\ . $$

Answer 2

Utilizzando $${14 \choose r}{r \choose k} = {14 \choose k}{14-k \choose r-k}$$ dato si riduce a

$$ \begin{align*} & \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} \bigg\{\sum^{14}_{r=k} {14-k \choose r-k} \bigg\} \\ & = \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} \{2^{14-k}\} \\ & = 2^{7} \times \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} 2^{7-k} \\ & = 2^{7}\times(2+1)^{7} \\ & = 6^7 \end{align*} $$

Modifica: come indicato da @ElliotYu, il limite esterno dovrebbe provenire da$0$ per $7$.

Answer 3

Ambientazione $n=7$ otteniamo \begin{align*} \color{blue}{\sum_{k=0}^n}&\color{blue}{\binom{n}{k}\binom{2n}{k}^{-1}\sum_{r=k}^{2n}\binom{r}{k}\binom{2n}{r}}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{k!(2n-k)!}{(2n)!}\sum_{r=k}^{2n}\frac{r!}{k!(r-k)!}\,\frac{(2n)!}{r!(2n-r)!}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\sum_{r=k}^{2n}\binom{2n-k}{r-k}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n }{k}\sum_{r=0}^{2n-k}\binom{2n-k}{r}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}2^{2n-k}\\ &=2^{2n}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{1}{2^k}\\ &=2^{2n}\left(1+\frac{1}{2}\right)^n\\ &\,\,\color{blue}{=6^n} \end{align*} e l'affermazione segue.