Spazio delle colonne e complemento ortogonale
Ho una domanda e non so davvero come risolverla. L'ho provato e probabilmente la mia soluzione è$\textit{wrong}$per non dire altro. Eccoci qui!
Supponiamo di averlo fatto $A_{m \times n}.$ Dimostrare o confutare l'affermazione: ogni vettore in formato $\mathbf{R^n}$ è l'uno o l'altro $C(A)$ o $C(A)^\perp$o entrambi. Dove$C(A)$ è l'estensione dello spazio della colonna di $A$ e $C(A)^\perp$ è il complemento ortogonale di $A$.
La mia opinione: ogni matrice dice $A$, ha il rango di proprietà$(A) \leq n$.
Quindi se rank$(A)<n$, quindi almeno una colonna (vettore) di $A$ è linearmente dipendente e rango$(A) <$ rango $(\mathbf{R^n})$ il che implica quello $A$ non si estende $\mathbf{R^n}$ così che abbiamo $$\text{rank } \mathbf{(R^n)} = \text{ rank} (A) + \text{ rank } (A^\perp) $$ Allo stesso modo, se rank$(A)=n$, quindi tutte le colonne (vettori) di $A$ sono linearmente indipendenti e rango$(A) =$ rango $(\mathbf{R^n})$ il che implica quello $A$ campate $\mathbf{R^n}$ così che abbiamo $$\text{rank } \mathbf{(R^n)} = \text{ rank} (A) $$
Risposte
Questo è sbagliato. Considera il$2\times 1$ matrice $\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right)$, quindi lo spazio della colonna è $U=\operatorname{span}\left( \left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right)\right)$ e il suo complemento ortogonale è $U^\perp=\operatorname{span}\left( \left(\begin{smallmatrix} 0 \\ 1\end{smallmatrix}\right)\right)$.
Il vettore $\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right)$ non è un elemento di $U$ e nessuno dei due $U^\perp$.
Le altre risposte sembrano confondere sindacati e somme dirette.
Ogni sottospazio e il suo complemento ortogonale partizionano lo spazio dato $R^n$. Quindi qualsiasi vettore in formato$R^n$ o appartiene a qualche sottospazio U in $R^n$ o appartiene a $U^{\perp}$(il vettore zero appartiene a entrambi). A me sembra che non sia necessario analizzare la proprietà di$C(A)$.
Poi guardo più da vicino, $C(A)$ ecco un sottospazio in $R^m$, quindi se non ci sono errori di battitura, affermerei che l'affermazione non è corretta.