Statistiche sufficienti e distribuzioni discrete
Permettere $X_1, \ldots, X_n$ essere un campione casuale di dimensioni $n$ dalla seguente distribuzione: $$f(x;\theta) = \left\{\begin{array}{ccc} \frac{1 - \theta}{6} & , & x = 1 \\ \frac{1 + \theta}{6} & , & x = 2 \\ \frac{2 - \theta}{6} & , & x = 3 \\ \frac{2 + \theta}{6} & , & x = 4\end{array}\right.$$
dove $-1 < \theta < 1$. Trova una statistica minima sufficiente per il parametro$\theta$.
Risposta : sto tentando di usare il teorema di Neyman:$$f(x_1;\theta)\cdots f(x_n;\theta) = k_1\Big[u_1(x_1,\ldots, x_n); \theta\Big]k_1(x_1,\ldots, x_n)$$
Quindi, \ begin {eqnarray *} f (x_1; \ theta) \ cdots f (x_n; \ theta) & = & \ prod \ limits_ {i = 1} ^ n \ left (\ frac {1 - \ theta} { 6} \ right) ^ {n_1} \ left (\ frac {1 + \ theta} {6} \ right) ^ {n_2} \ left (\ frac {2 + \ theta} {6} \ right) ^ {n_3 } \ left (\ frac {2 - \ theta} {6} \ right) ^ {n_4} \ end {eqnarray *}
dove $n = n_1 + n_2 + n_3 + n_4$.
Tuttavia, non mi sembra di essere in grado di formare $k_1$ e $k_2$ da questo, neanche io sono in grado di ottenere la statistica sufficiente $u_1$. Fai il$x$-I valori 1, 2, 3, 4 giocano un ruolo anche qui?
Risposte
Quando si osserva la densità del giunto come [notare l'inclusione errata del simbolo del prodotto!] \ Begin {eqnarray *} \ require {cancel} f (x_1; \ theta) \ cdots f (x_n; \ theta) & = & \ cancel {\ prod \ limits_ {i = 1} ^ n} \ left (\ frac {1 - \ theta} {6} \ right) ^ {n_1} \ left (\ frac {1 + \ theta} {6} \ right ) ^ {n_2} \ left (\ frac {2 + \ theta} {6} \ right) ^ {n_3} \ left (\ frac {2 - \ theta} {6} \ right) ^ {n_4} \ end { eqnarray *} la fattorizzazione è già ottenuta, a partire dalla densità congiunta come\ begin {align *} f (x_1; \ theta) & \ cdots f (x_n; \ theta) = \ prod \ limits_ {i = 1} ^ n \ left (\ frac {1 - \ theta} {6} \ destra) ^ {\ mathbb I_1 (x_i)} \ sinistra (\ frac {1 + \ theta} {6} \ right) ^ {\ mathbb I_2 (x_i)} \ left (\ frac {2 + \ theta} {6 } \ right) ^ {\ mathbb I_3 (x_i)} \ left (\ frac {2 - \ theta} {6} \ right) ^ {\ mathbb I_4 (x_i)} \\ & = \ left (\ frac {1 - \ theta} {6} \ right) ^ {\ sum_ {i = 1} ^ n \ mathbb I_1 (x_i)} \ left (\ frac {1 + \ theta} {6} \ right) ^ {\ sum_ { i = 1} ^ n \ mathbb I_2 (x_i)} \ left (\ frac {2 + \ theta} {6} \ right) ^ {\ sum_ {i = 1} ^ n \ mathbb I_3 (x_i)} \ left (\ frac {2 - \ theta} {6} \ right) ^ {\ sum_ {i = 1} ^ n \ mathbb I_4 (x_i)} \\ & = \ left (\ frac {1 - \ theta} {6 } \ right) ^ {n_1} \ left (\ frac {1 + \ theta} {6} \ right) ^ {n_2} \ left (\ frac {2 + \ theta} {6} \ right) ^ {n_3} \ left (\ frac {2 - \ theta} {6} \ right) ^ {n_4} \ end {align *} che dipende solo dai quattro contatori$n_1(\mathbf x),\ldots,n_4(\mathbf x)$, la fattorizzazione mostra la statistica $$S(X_1,\ldots,X_n)=\left(\sum_{i=1}^n\mathbb I_1(x_i),\sum_{i=1}^n\mathbb I_2(x_i),\sum_{i=1}^n\mathbb I_3(x_i),\sum_{i=1}^n\mathbb I_4(x_i)\right)$$come sufficiente (se non minimo) poiché il prodotto dipende solo da queste quattro quantità. Per trovare un'ulteriore scomposizione come$k_1(S(\mathbf X);\theta)k_2(\mathbf X)$ è alquanto discutibile (ad esempio $k_2(\mathbf x)=1$).