Stone-Weierstrass come teorema.

Question

Permettere $f$ essere una funzione continua davvero apprezzata $[-1,1]$ tale che $f(x) = f(-x),$ per tutti $x \in [-1,1].$ Dimostralo per tutti $\varepsilon \gt 0$ c'è un polinomio $p(x)$ con coefficienti razionali tali che per ogni $x \in [-1,1],$ $$\left \lvert f(x) - p(x^2) \right \rvert \lt \varepsilon.$$

Come lo provo? Qualsiasi aiuto sarà molto apprezzato.

Grazie in anticipo.

Answer 1

Dimostriamo prima quanto segue.

1. Supponiamo $p$ è un polinomio attivo $[-1, 1]$ e lascia $\varepsilon>0.$ Esiste un polinomio $q$ Con coefficienti razionali tali $\|p-q\|<\varepsilon.$

Prova. Per vedere questo lascia$\deg(p)=n$ e lascia $p(z)=a_nz^n+\ldots+a_0.$ Scegli razionali $b_i$ tale che $|a_i-b_i|<\varepsilon/(n+1).$ Ora osservalo per qualsiasi $x\in [-1, 1]$ noi abbiamo $|p(X)-q(x)|<\varepsilon.$

Ora, la seconda cosa da dimostrare è che una funzione uniforme $f$ Può essere approssimato da un polinomio pari in $x^2.$ Credo (a causa del tuo commento) che tu non abbia difficoltà a mostrarlo.

Spero che ora tu possa vedere come segue la tua affermazione.