Suggerimento problema USAMO.

Question

Dimostra che per ogni numero intero positivo n esiste un numero di n cifre divisibile per 5$^n$tutte le cui cifre sono dispari.
USAMO 2003.

Questa è la prima volta che vedo un problema come questo, quindi non sono sicuro di cosa fare, induzione, costruzione, controllo di piccoli casi, contraddizione sono alcune delle cose che ho provato.

So di poter trovare facilmente una soluzione ovunque, ma non voglio cercare una soluzione, quindi per favore dai SUGGERIMENTI .

HO PUBBLICATO UNA SOLUZIONE https://math.stackexchange.com/questions/3918561/usamo-problem-solution QUI, PER FAVORE, CONTROLLA.

Si prega di non fornire la soluzione completa, qualsiasi suggerimento sarebbe apprezzato.

Answer 1

Suggerimento: dopo il commento di lulu, supponiamo di aver formato un numero $N$ con $n-1$ cifre dispari divisibili per $5^{n-1}$. Scriviamo questo numero come$N = p\cdot5^{n-1}$. Quindi vuoi trovare una cifra dispari$a$ tale che $a\cdot10^{n-1}+ p\cdot5^{n-1} = k\cdot5^n$ per un numero intero $k > 0$. Questo è vero se e solo se$5 | (a\cdot2^{n-1}+p)$. Scrittura$a = 2m+1$, puoi dimostrare che possiamo sempre trovare $m$? Anche$m$ è mod $5$, e quindi $a$ è una cifra.

Il caso di base è ovvio.