Sulla disuguaglianza di Samuelson

Question

Se abbiamo un set di$n$numeri reali:$$\Omega=x_1,x_2,x_3,..,x_n$$la media aritmetica è:$$A=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$$e la deviazione standard:$$S=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-A)^2}$$Se l'insieme di$n$i numeri sono limitati in modo che:$$m\le x_i\le M$$un perfezionamento della disuguaglianza di Samuelson dimostrato da Bhatia e Davies è:$$S^2\le (M-A)(A-m)$$La mia domanda è: quando vale l'uguaglianza? L'uguaglianza vale per qualsiasi tipo di distribuzione dei numeri in?$\Omega?$

Answer 1

Per ogni$i$Lo vediamo$S^2$è una funzione convessa di$x_i$, che dice:$$\max_{m\leq x\leq M}S^2=\max_{x_i\in\{m,M\}}S^2.$$Id est, l'uguaglianza si verifica per$x_1=x_2=...=x_k=m$e$x_{k+1}=...=x_n=M.$

Ora, dobbiamo scegliere un valore di$k$, per il quale otterremo un valore massimo.

Spero che sarà di aiuto.