Teorema di Munkres van Kampen
Risposte
Questo mi sembra corretto. Nell'ultimo passaggio, lo stai usando$i_1(N) \subset M$che è l'informazione cruciale in questo problema. L'idea, meno precisamente, è quella di utilizzare$$ \pi_1(V, x_0) \cong \pi_1(U \cap V, x_0)/N \xrightarrow{i_1} \pi_1(U, x_0)/M = H $$ dove la seconda mappa è indotta da $i_1 : \pi_1(U \cap V, x_0) \to \pi_1(U, x_0)$ ed esiste perché $i_1(N) \subset M$.
Questa è la soluzione corretta, ma dirò che mi piace pensarla in modo leggermente diverso. Il teorema di Van Kapen identifica$\pi_1(X, x_0)$ con il prodotto libero amalgamato $G_1 *_H G_2$ dove $G_1 = \pi_1(U, x_0)$ e $G_2 = \pi_1(V, x_0)$ e $H = \pi_1(U \cap V, x_0)$ (questo è esattamente il colimit del diagramma che hai annotato nella categoria dei gruppi).
Supponiamo ora $H \to G_2$ è surjective, beh dovrebbe essere "chiaro" che $G_1 *_H G_2 = G_1 / \left< \ker{(H \to G_2)} \right> $ dove $\left< \ker{(H \to G_2)}\right>$ è il normale sottogruppo di $G_1$ generato dall'immagine in $G_1$ del kernel di $H \to G_1$. Perchè è questo? Bene, se tutto in$G_2$ è a immagine di $H \to G_2$ quindi può essere "amalgamato" in $G_1$ e inoltre la fusione uccide qualsiasi cosa $G_1$ che viene da qualcosa dentro $H$ mappatura a zero sotto $H \to G_2$. Se hai familiarità con la teoria delle categorie, dovresti essere in grado di dimostrarlo quando$H \to G_2$ è suriettivo allora $H \to G_1 \to G_1 *_H G_2$ fa $G_1 *_H G_2$ il cokernel di $H \to G_1$ dando esattamente quello che vuoi.