Terminologia: limite superiore e limite inferiore.

Question

Permettere$(x_n)$essere una sequenza di numeri reali. Definisce:

$\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} x_n=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} (\sup_{m≥n} x_m)=\inf_{n≥1}(\sup_{m≥n}x_m)$

Come devo interpretare la notazione della definizione? Nello specifico il$m≥n$e$n≥1$termini.

Answer 1

La notazione$\sup_{m\geq n} x_m$è solo un modo breve per scrivere$\sup\{x_m: m\geq n\}=\sup\{x_n,x_{n+1},x_{n+2},...\}$, il massimo della sequenza$(x_m)$a partire dal$n$esimo elemento.

Allo stesso modo, se lasciamo$y_n=\sup_{m\geq n} x_m$per ogni$n\in\mathbb{N}$, poi$\inf_{n\geq 1} y_n$è solo$\inf\{y_n: n\in\mathbb{N}\}$.

Answer 2

$\inf_{\text{condition}}(\text{quantity})$(e simili per$\sup$) deve essere inteso come$\inf\{\text{quanity}\mid\text{condition}\}$, cioè come l'infimo dell'insieme delle grandezze che soddisfano la condizione (e simili per il supremo).

Così,$\sup_{m\ge n}x_m$è effettivamente$\sup\{x_m\mid m\ge n\}=\sup\{x_n,x_{n+1},x_{n+2},\ldots\}$. Allo stesso modo:

$$\begin{array}{rcl}\inf_{n\ge 1}\sup_{m\ge n}x_m&=&\inf\{\sup\{x_m\mid m\ge n\}\mid n\ge 1\}\\&=&\inf\{\sup\{x_1,x_2,x_3,x_4\ldots\},\sup\{x_2,x_3,x_4,\ldots\},\sup\{x_3,x_4,\ldots\},\ldots\}\end{array}$$

Nota come un set diventa più piccolo, il suo supremum diventa più piccolo e il suo minimo diventa più grande .

Answer 3

Al limite la sequenza ha un limite superiore.

La sequenza può fare le cose nel "breve termine" o quando$n$è "piccolo" che ignoreremo. Ma alla fine$n$sarà abbastanza grande, che in aumento$n$non influirà sul massimo della coda della sequenza per valori maggiori di$n.$

$\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} x_n=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} (\sup_{m≥n} x_m)$

quando$n$è grande e guardiamo la sottosequenza quando$m>n$quella sottosequenza ha un limite superiore e questo è il limite della sequenza.

$\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} x_n = \inf_{n≥1}(\sup_{m≥n}x_m)$

Questo dice di guardare il limite superiore dell'intera sequenza. Il supremo della sequenza a destra di$n$è minore o uguale al massimo della sequenza compreso$n.$quando$n$diventa abbastanza grande, abbiamo trovato il valore più piccolo della sequenza a destra di$n.$E questo è anche il limsup della sequenza.

La sequenza sarà arbitrariamente vicina al limsup infinite volte.