Topose con solo preordini di punti

Oct 05 2020

Per un topos di Grothendieck $\mathcal{E}$, le seguenti affermazioni sono equivalenti?

$(i)$ $\mathcal{E}$ è localico.
$(ii)$ Il morfismo geometrico diagonale $\mathcal{E} \to \mathcal{E} \times \mathcal{E}$è un incorporamento. (Qui$\mathcal{E} \times \mathcal{E}$ è il topos del prodotto, non la categoria del prodotto.)
$(iii)$ Per ogni topos Grothendieck $\mathcal{E}'$, $\mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E})$ è un preordine (nessuna trasformazione geometrica parallela).

Le implicazioni $(i) \Rightarrow (ii)$ e $(ii) \Rightarrow (iii)$ tieni premuto:

$(i) \Rightarrow (ii)$: Qualsiasi morfismo diagonale $X \to X \times X$(in qualsiasi categoria) è uno split mono e uno split mono di locales è un incorporamento. Il funtore (smemorato) dai locali al topo preserva il prodotto e trasforma gli incorporamenti di luoghi in inserimenti geometrici.
$(ii) \Rightarrow (iii)$: Se $\mathcal{E} \to \mathcal{E} \times \mathcal{E}$ è un incorporamento, quindi il funtore diagonale $\mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E}) \to \mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E} \times \mathcal{E}) \simeq \mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E}) \times \mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E})$deve essere completamente fedele. Ma questo significa proprio questo$\mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E})$ è un preordine.

Quindi, in sintesi, è un topos con solo un preordine di $\mathcal{E}'$punti per ogni $\mathcal{E}'$ già localico?

Risposte

18 SimonHenry Oct 05 2020 at 20:16

$(i) \Leftrightarrow (ii)$è vero ed è la Proposizione C.2.4.14 negli Schizzi di un elefante di Peter Johnstone. Più in generale mostra che un morfismo geometrico limitato$f: \mathcal{E} \to \mathcal{S}$ è localico se e solo se $\mathcal{E} \to \mathcal{E} \times_{\mathcal{S}} \mathcal{E}$ è un incorporamento.

$(ii)$ e $(iii)$ non sono equivalenti: c'è un grande divario tra "la diagonale è un monomorfismo" e "la diagonale è un incorporamento"

Per un esempio tipico, intraprendi un'azione libera ma non appropriata di un gruppo $G$ in una località (o spazio) $X$. Per risolvere l'idea, prendi$G = \mathbb{Z}$ agendo su $X=S^1$ il cerchio unitario ruotando di un angolo irrazionale.

Il topos dei fasci equivarianti $X//G$ classifica le "orbite" per l'azione di $G$ sopra $X$, cioè un $G$-tor $T$ (a principale $G$-bundle) insieme a un file $G$-Mappa equivariante $T \to X$. Poiché l'azione è libera, la categoria di punto in qualsiasi topos non avrà morfismi non banali.

Ma quel topos non è affatto localico: i suoi oggetti subterminali sono i $G$-subset aperto invariante quindi nel nostro esempio concreto è solo $\emptyset$ e $1$.

Si può anche calcolare la mappa diagonale. $\mathcal{T} \times \mathcal{T}$ può essere mostrato come i topos corrispondenti all'azione di $G \times G$ sopra $X \times X$. I subtopos di questo corrisponderebbero a$G \times G$-sublocali equivarianti di $X \times X$ e la diagonale no $G \times G$-equivariante.

Per rendere più esplicita la costruzione, possiamo usarla per un gruppo discreto $G$, un topos localic over $BG$ (il topos di $G$-set) è lo stesso di un locale con a $G$-azione. $\mathcal{T}$ corrisponde a $X$ con i suoi $G$ azione. $\mathcal{T} \times \mathcal{T} \to BG \times BG$ è anche locale (prodotto della mappa locale), e il locale corrispondente si ottiene tirando indietro lungo il punto $* \to BG \times BG$, che consente di vedere che il locale corrispondente è effettivamente $X \times X$. Ora se vedo$\mathcal{T}$ al di sopra di $BG \times BG$ come $\mathcal{T} \to \mathcal{T} \times \mathcal{T} \to BG \times BG$, quindi corrisponde al locale $X \times G$ dove $G \times G$ agisce su $X$ e $G$ separatamente (per essere più simmetrici è la localizzazione delle terzine $(x,x',g)$ dove $x'=gx$).

Come locale con $G \times G$ azione, la mappa diagonale di $\mathcal{T}$ quindi corrisponde alla mappa $X \times G \to X \times X$ che invia $(g,x)$ per $(x,gx)$. Che è un mono perché$G$ agisce liberamente, ma non è en embedding.