Tracking error e index tracking
Diciamo che voglio replicare un indice come S & P500. Le persone generalmente riducono al minimo una nozione matematica chiamata tracking error che non è altro che la deviazione standard tra i rendimenti dell'indice e i rendimenti del nostro portafoglio. Più precisamente, lascia$r_{pf}$ essere i rendimenti del nostro portafoglio e $r_{idx}$essere i rendimenti dell'indice. Abbiamo$TE = std(r_{pf}-r_{idx})$.
Non capisco perché ridurre al minimo questo tracking error sia sufficiente per costruire un portafoglio che replica l'indice. Supponiamo di poter ridurre al minimo l'errore di tracciamento molto vicino a 0, ovvero la variabile casuale$X$ definito come $X = r_{pf} - r_{idx}$ avrà una varianza nulla, e quindi $X$ è una variabile casuale quasi sicuramente costante.
Tuttavia, cosa ci dice che la costante sarà uguale a 0? Può essere uguale a qualsiasi cosa, dal momento che$X$è quasi sicuramente costante la sua varianza è nulla. Questo non risponde affatto al nostro problema originale di tracciare l'indice., Poiché volevamo$r_{pf}$ essere approssimativamente uguale a $r_{idx}$.
Risposte
Setup: Differenza media
Sembra che il tuo reclamo con quella definizione di tracking error sia che non tiene conto della differenza media tra $r_{pf}$ e $r_{idx}$. Ci sono un paio di modi per considerare il tuo reclamo.
Consideriamo due portafogli che replicano l'indice: i portafogli $A$ e $B$ con ritorni $r_{P_A}$ e $r_{P_B}$. La tua preoccupazione sembra essere se$\text{var}(r_{P_A}-r_{idx})=\text{var}(r_{P_B}-r_{idx})=0$ ma $r_{P_A}=r_{idx}<r_{P_B}$: tutti e due $A$ e $B$ hanno 0 errori di tracciamento, ma $r_{P_B}-r_{P_A}=c>0$.
Quale portafoglio è migliore?
In primo luogo, è vero che data una scelta tra $A$ e $B$, preferiremmo il portafoglio $B$. $B$non segue esattamente l'indice; restituisce di più. In questo modo, hai ragione che nella definizione di tracking error sembra mancare un dettaglio importante.
Problemi di arbitraggio
In secondo luogo, tuttavia, dovresti considerare cosa potrebbe accadere in questo scenario. Ho due strumenti che differiscono nei rendimenti solo per una costante. Questo è l' arbitraggio da manuale : insomma$A$ e usa i soldi per comprare $B$ guadagnare $c$. Quanto lo faccio? Un sacco - come in "il più possibile." Chi se ne frega dei rendimenti dell'indice quando posso guadagnare un garantito$c$senza dover mettere giù i soldi? Le azioni degli arbitraggisti chiuderebbero quei prezzi fino al$r_{idx}=r_{P_A}=r_{P_B}$.
Questioni pratiche: liquidità, credito e limiti di rischio
Terzo: dovremmo considerare gli aspetti pratici poiché ciò accade effettivamente. Esistono numerosi fondi indicizzati che replicano tutti l'indice ma che hanno rapporti di spesa diversi. Cosa è successo in quegli scenari? Ebbene, molti dei fondi indicizzati costosi (ad alta spesa) sono fondi comuni di investimento e quindi non è possibile abbreviarli.
Esistono tuttavia ETF indicizzati che hanno rapporti di spesa diversi e gli ETF possono essere abbreviati. Ad esempio SPY ha un rapporto di spesa di circa lo 0,09% mentre VOO (che segue anche l'indice S&P 500) ha un rapporto di spesa di circa lo 0,03%.
Perché le persone non arbitrano VOO contro SPY? Possono e probabilmente lo fanno in una certa misura; tuttavia gli aspetti pratici di liquidità, margine e credito si intromettono:
- SPY in genere ha un \$0.01 bid-ask spread (about 0.003%) and VOO typically has a \$Spread bid-ask 0,03 (circa 0,01%). Il trading uno contro l'altro consumerebbe circa lo 0,026% per l'entrata e l'uscita, il che riduce il profitto a circa lo 0,06% (essendo conservativo).
- Il trading richiede un po 'di capitale in un conto presso una società di intermediazione; non puoi aprire un conto senza soldi, avere risorse a breve per il finanziamento e fare trading usando solo quel capitale.
- Mettere in corto uno di questi non ti dà pieno finanziamento per l'altra posizione a causa di Reg T; pertanto, è necessario disporre di un capitale da soli per finanziare metà della posizione lunga.
- Infine, non puoi farlo in grandi dimensioni senza raggiungere i limiti di posizione presso molti broker.
Sommario
In sintesi, hai ragione nel dire che preferiremmo un portafoglio che dia più rendimento tra le scelte senza tracking error rispetto a un indice. Esistono alcuni casi di portafogli peggiori (spese più elevate) - e persistono - perché sono fondi comuni di investimento che non possono essere abbreviati. Tuttavia, la maggior parte delle istanze di ETF più costosi non sono molto più costose in modo tale da rientrare nei limiti di arbitraggio degli spread denaro-lettera più prestiti per finanziare la posizione lunga.
Insieme a molti commenti già fatti, puoi essere quasi certo che la costante "mancante" dalla metodologia standard di tracking error non sarà zero. Poiché il tracker costa qualcosa di positivo (di solito molto inferiore ai costi di gestione attiva del fondo nella stessa classe di attività) da tenere, è in realtà "Indice di riferimento - Total Expense Ratio" in primo luogo.
Ridurre al minimo la somma totale dei quadrati residui (RSS) tra tracker e indice al netto dei costi costringerebbe il tracker a posizionarsi in modi che lascerebbero qualsiasi utente del tracker con un'esposizione al rischio diversa rispetto a obbligazioni, oro, credito ecc. hanno utilizzato l'indice stesso nei loro modelli, confrontandoli con altre classi di attività. Quindi c'è un senso in cui min-TE e accettare un po 'di trascinamento è, in effetti, una rappresentazione più legittima dell'indice di quella che è solo errori di minimo quadrato. Se si ottiene il valore minimo (RSS), ad esempio tenendo diversi mix di titoli Tech vs Energy, ciò potrebbe indurre il fondo a comportarsi in modo diverso dall'indice in portafogli multi-asset diversificati. Perché il mix Tech-vs-Energy ha correlazioni per dire Petrolio e Treasury, che sono diverse da quelle dell'S & P500.
Si presume inoltre che il solo tentativo di mantenere lo stesso mix del mercato in qualsiasi momento, alias "replica completa", che enormi balene come SPY possono fare in modo credibile a basso costo, sia una prova di base equa. Quindi l'errore di tracciamento rappresenta semplicemente una metrica di efficienza intuitiva (non un test di purezza statistica). È possibile costruire un ETF che offra un tracking puro meno un (piccolo) costo fisso senza alcun tracking error. Se il fondo ottiene semplicemente lo swap dell'indice pertinente da una banca di investimento ... tranne che il tuo tracking error vicino allo zero e il basso RSS contengono un incommensurabile e irreportabile rischio di credito della controparte (che potrebbe andare a zero, creando un grande tracking error); -) È più facile e migliore quindi tenere lo stesso mix di azioni (e prendere il grezzo con errori di tracciamento uniformi), piuttosto che provare a giocare troppo duro con il gioco di misurazione?