Trasformazione unitaria quantistica

Question

Nella meccanica quantistica, lo sappiamo $\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar}H\psi$,

ma perché lo è $U\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar} \left(UHU^\dagger \right) U\psi$?

Significa $UHU^\dagger = H$? credo$UU^\dagger H = H$, ma perché possiamo cambiare l'ordine delle matrici qui?

Answer 1

Lo stai pensando troppo, supponendo $U$ è unitario:

$$ U\dot\psi= -\frac{i}{\hbar} UH\psi=-\frac{i}{\hbar} UH\mathbb 1\psi= -\frac{i}{\hbar} UHU^\dagger U\psi.$$

$U$ non è necessario che sia l'operatore dell'evoluzione del tempo e non è necessario che faccia il pendolare $H$affinché funzioni, può essere qualsiasi unitario. Questo sta solo dicendo che se scrivi$\psi$in un'altra base poi evolve con l'hamiltoniano scritto nella nuova base. (O equivalentemente che un vettore ruotato evolve con l'Hamiltoniana ruotata).

Answer 2

1. Se l'Hamiltoniano $\hat{H}$ non dipende dal tempo e $U$ dovrebbe quindi essere l'operatore di evoluzione temporale $$\hat{U}~=~\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\Delta t\right),\tag{A}$$ che fa il pendolare$^1$ con $\hat{H}$, così che $$UHU^{\dagger} ~=~ H,\tag{B}$$cfr. La domanda di OP.

2. Se l'Hamiltoniano $\hat{H}$dipendono dal tempo, quindi dalle eq. (A) e (B) devono essere modificati, cfr. ad esempio questo post di Phys.SE.

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$^1$ Una funzione $f(\hat{H})$ di $\hat{H}$ pendolari con $\hat{H}$, cfr. ad esempio questo e questo Phys.SE post.

Answer 3

user2723984 è corretto. Tuttavia, la seconda parte della tua domanda è irrisolta: se l'Hamiltoniano commuta con se stesso in momenti diversi, allora l'unico operatore in$U$ è $H$ e come $H$ commuta con se stesso, l'ordine degli operatori può quindi essere modificato.