Tre disperati

Question

Tre desperados A, B e C giocano alla roulette russa in cui si alternano premendo il grilletto di un revolver a sei cilindri caricato con un proiettile. Ogni volta che il caricatore viene fatto girare per selezionare casualmente un nuovo cilindro da sparare fintanto che il colpo mortale non è caduto. I desperados sparano secondo l'ordine A, B, C, A, B, C, . . .. Determinare per ciascuno dei tre desperados la probabilità che questo desperado sia quello a spararsi a morte.

Devo calcolare la probabilità che A muoia$i$esimo processo, quindi B e C non muoiono mai. Se a$1$th processo nessuno muore abbiamo$(\frac{5}{6})^3$. Se a$i$La prova che nessuno muore dovremmo avere$(\frac{5}{6})^3+...+(\frac{5}{6})^3=\sum_{k=0}^{\infty}k(\frac{5}{6})^3$, perché

$\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}[(A\cap B_1)\cup...\cup(A\cap B_k)]=\mathbb{P}(A\cap B_1)+...+\mathbb{P}(A\cap B_k)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(A\cap B_k)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A|B_k)$

e da allora$A\perp B_k\Rightarrow \mathbb{P}(A)=\sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A)=(\frac{5}{6})^2\frac{5}{6}+...+(\frac{5}{6})^2\frac{5}{6}=(\frac{5}{6})^3+...+(\frac{5}{6})^3=k(\frac{5}{6})^3$

dove$A=[$Un non morire$]$. Quindi A dovrebbe morire$i+1$esima prova con probabilità$\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}k(\frac{5}{6})^3$.

Purtroppo il risultato è$\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{5}{6})^{3k}$. Come mai?

Answer 1

La tua notazione complica eccessivamente il problema. La probabilità che la pistola spari per prima sul$i$-esimo tiro del grilletto è$(5/6)^{i- 1}\cdot(1/6)$... cioè la probabilità che il primo$i-1$i grilletti non sparano e poi il$i$-l'uno lo fa.$A$muore se questo accade alla prima, quarta, settima, ecc.... tirando il grilletto: se$i=3k+1$per alcuni naturale$k$. Così$$ P(A)=\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^{3k}=\frac{36}{91}. $$Per completezza, dal momento che$B$e$C$richiedere$i=3k+2$e$i=3k+3$rispettivamente,$$ P(B)=\frac{5}{6}P(A)=\frac{30}{91} $$e$$ P(C)=\frac{25}{36}P(A)=\frac{25}{91}. $$

Answer 2

Puoi risolvere questo problema senza sommare serie fantasiose. Sai che:

$$ P(A) = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} P(C)$$

Una volta su sei,$A$perderà subito. Nell'altro$\frac{5}{6}$di casi,$A$sarà nella stessa situazione$C$è all'inizio del gioco.

Poi hai:

$$P(B) = \frac{5}{6} P(A)$$

Se A non perde all'inizio,$B$perderà con probabilità$P(A)$.

Ovviamente hai anche:

$$P(A) + P(B) + P(C) = 1 \; ,$$

dal momento che qualcuno deve perdere. Hai 3 equazioni e 3 incognite.