Un limite con un arctan

Question

Devo calcolare un altro limite, $$ \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(\frac{2}{\pi}\arctan x\right)^{\sin\left(2/x\right)}$$

Non ho idea di come iniziare o cosa fare perché non ho mai avuto a che fare con un arctan in un limite prima.

Cosa devo fare prima?

Answer 1

$\lim_{x \to \pi/2} \tan x = \infty$, così $\lim_{x \to \infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$, come $\tan x$ e $\arctan x$ sono funzioni inverse l'una dell'altra per $x \in [0, \pi/2)$.

Il resto è solo sostituzione diretta. Dovresti ricevere:

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \right)^{\sin(0)} = \lim_{x \to \infty} 1^0 = \boxed{1}.$$

Answer 2

Prima di tutto: niente panico! :-)

C'è una bella identità per l'arcotangente: $$ \arctan x+\arctan\frac{1}{x}= \begin{cases} \pi/2 & x>0 \\[4px] -\pi/2 & x<0 \end{cases} $$ Poiché il limite è per $x\to\infty$, non è restrittivo assumere $x>0$, così $$ \arctan x=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{1}{x} $$ e, impostazione $y=1/x$, il limite diventa $$ \lim_{y\to0^+}\Bigl(1-\frac{2}{\pi}\arctan y\Bigr)^{\sin2y} $$ che non è una forma indeterminata perché lo è $1^0=1$.