Un semplice problema di calcolo

Question

Ecco la domanda: trova l'area massima di un triangolo isoscele inscritto nell'ellisse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$. Il mio insegnante ha risolto il problema considerando due punti arbitrari sull'ellisse come vertici del triangolo, essendo$(a\cos\theta, b\sin \theta)$ e $(a\cos\theta, -b\sin \theta)$. (Diciamo solo$\theta$ è theta) e quindi ha proceduto con i test derivati ​​(che ho capito) Ma non ha indicato quale nostro $\theta$era, e ha dichiarato che questi punti giacciono sempre su un'ellisse. Perchè così? E anche se lo facessero, qual è la garanzia che i punti di una tale forma saranno i nostri vertici richiesti? Un'altra cosa, ti sarei grato se potessi suggerire un altro modo per risolvere questo problema. Grazie!

Answer 1

Se crediamo all'argomento della simmetria, è semplice ottimizzare l'area:

$$A_1 = a b \sin \theta (1+ \cos \theta)$$

$$A_2 = a b (1+ \sin \theta) \cos \theta$$

$$0=\frac{\partial A_1}{\partial \theta}=a b [\cos\theta (1+ \cos \theta)-\sin^2 \theta] = ab [\cos^2 \theta - \sin^2 \theta + \cos \theta]$$

$$0=\frac{\partial A_2}{\partial \theta}=a b [\cos^2 \theta - \sin \theta(1+ \sin \theta)]= ab[\cos^2 \theta - \sin^2 \theta-\sin \theta]$$

Le soluzioni alla prima equazione includono un minimo a $\theta=\pi$ e massimo a $\theta = \mp \frac{\pi}{3}$.

Le soluzioni alla seconda equazione includono un minimo a $\theta=-\frac{\pi}{2}$ e massimo a $\theta = \frac{\pi}{6}$ e $\frac{5\pi}{6}.$

Interessante, otteniamo soluzioni allineate con $x-$asse e il $y-$asse!

Puoi certamente risolvere il problema prendendo tre punti arbitrari sull'ellisse, costringendoli a giacere su triangoli iscoceli, e quindi utilizzare i moltiplicatori di Lagrange. Le soluzioni risulteranno essere quelle trovate sopra.