Una domanda binomiale semplice ma complicata [duplicato]

Question

Qual è il numero di termini dissimili nell'espansione di $(x+\frac{1}{x}+x^2+\frac{1}{x^2})^{15}$?

So come risolvere questo tipo di problema.

Per prima cosa sistemerei il termine in un'espressione binomiale. L'espansione avrà$(n+1)$ termini dissimili.

Ma come posso organizzarlo in un'espressione binomiale?

Answer 1

Suggerimento:

$$x+\dfrac{1}{x} = t \Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2} = t^2 - 2$$

$$\therefore \Big(x+\dfrac{1}{x}+x^2+\dfrac{1}{x^2}\Big)^{15} = (t^2+t-2)^{15} $$

Consideriamo ora il prezioso consiglio di @ lulu: "Qual è il termine di grado più alto? Qual è il termine più basso? Tutti i termini intermedi hanno coefficienti diversi da zero?"

Answer 2

Ecco come procederei con la domanda:

$(x+\frac{1}{x}+x^2+\frac{1}{x^2})^{15}$ = $(\frac{1+x+x^3+x^4}{x^2})^{15}$ = $(\frac{1}{x^30})(1+x+x^3+x^4)^{15}$ = $(\frac{1}{x^30})$(1 + ....... + x ^ 60)

Quell'espressione ha 61 poteri diversi. Quindi la risposta dovrebbe essere 61. Spero che aiuti!