Una domanda sui numeri p-adici

Question

Sto cercando di conoscere$p$-adic numeri e ho alcune domande. Ho cercato di conoscere la motivazione dalla pagina di Wikipedia , che era molto chiara e con alcuni semplici esempi.

Ma ho difficoltà a capire quanto segue:

• Se adottiamo un approccio algebrico alla costruzione, prima costruiamo$\mathbb{Z}_p$e da esso costruiamo$\mathbb{Q}_p$prendendolo come il campo delle frazioni di$\mathbb{Z}_p$. La cosa che non capisco è lo zero sul ring$\mathbb{Z}_p$. Ad esempio, se abbiamo$p=7$abbiamo che (0,7,7,7,7,...) e (0,7,7,7,7,56,56,56,....) entrambi non hanno inversi. Sono entrambi a zero$\mathbb{Z}_p$? È la stessa cosa di 7 e 14 che sono entrambi zero dentro$\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$?

• Ogni$x\in \mathbb{Q}_p$può essere scritto come$x=p^{-n}u,$dove$n\in \mathbb{N}, u \in \mathbb{Z}_p^*.$Perché è vero? Quindi lo capisco$x=\frac{a}{b}, a,b\in \mathbb{Z}_p,$così abbiamo$a=p^ku, b=p^mv, m,k\in\mathbb{N}, u,v\in \mathbb{Z}_p.$Ma non so come continuare.

Answer 1

no non sono zero.non ha un inverso in$\mathbb{Z}_7$ma questo non significa che dovrebbe essere zero$\mathbb{Z}_7$è un anello come$\mathbb{Z}$e ha molti elementi diversi da zero, non invertibili.

possiamo descrivere elementi invertibili in$\mathbb{Z}_7$: una sequenza è invertibile in$\mathbb{Z}_7$se e solo se il suo primo componente non è divisibile per sette. il motivo è che ogni elemento di$\mathbb{Z}/7^n$che è coprime con 7 ha un unico inverso. quindi puoi prendere gli inversi in modo componente e sono compatibili tra loro.

da questo fatto puoi vedere che ogni elemento di$\mathbb{Z}_7$può essere scritto nel modulo$7^nu$dove u è invertibile. Ora la tua seconda domanda è questo fatto in un'altra lingua.