Una linea verticale è iniettiva?
Praticamente solo il titolo. Ovviamente una linea verticale non è una funzione (non supera il test della linea verticale), ma tecnicamente supera il test della linea orizzontale per l'iniettività. Ma ho pensato che una mappa iniettiva avesse bisogno di avere uscite distinte corrispondenti a ingressi distinti, che una linea verticale non ha (più uscite y per il nostro ingresso x). Oppure una mappa iniettiva deve essere anche una funzione per definizione?
Risposte
Come hai notato, una linea verticale non è una funzione e quindi non ha senso discutere di iniettività per essa, che viene definita utilizzando appunto il concetto di mappa, cioè
$$f(a)=f(b) \implies a=b$$
In un certo senso potremmo anche affermare che la linea verticale è suriettiva, ma anche questa affermazione è priva di significato per lo stesso motivo.
Fare riferimento anche a
- Cos'è esattamente una funzione?
L'iniettività come la suriettività è una proprietà delle funzioni e come hai notato la linea verticale non è il grafico di una funzione. Detto questo, posso definire una funzione che ha l'immagine di una linea verticale da una funzione da$\mathbb{R}$ per $\mathbb{R}^2$ parametricamente da $x = c, y = t$ con $c$ una vera costante e $t$una vera variabile. In questo contesto la linea sarebbe l'immagine di una funzione iniettiva. Possiamo invece usare$y=kt$ per alcuni veri $k\neq 0$ e questa parametrizzazione sarà anche una funzione iniettiva con la stessa immagine, la linea verticale passante $x=c$.
Penso che dipenda da ciò che definisci "iniettivo" per indicare qualcosa che non è una funzione.
Si potrebbe sostenere che "iniettivo" parli di mappature e se qualcosa non è una funzione non ha senso parlare del fatto che è iniettiva. Giusto.
Ma potresti anche dire che se $F \subset X\times Y$ allora se $F$ tale che se $(a,w)\in F$ e $(b,w)\in F$ allora questo è solo possibile $a=b$è una definizione valida di iniettiva. Quindi se la linea verticale è$F = \{(c,y)|y\in \mathbb R\}$ e se $(a,w)\in F, (b,w)\in F$ poi $a=b=c$ indipendentemente da $w$quindi la linea è iniettiva. Abbastanza giusto.
Ma si può dire che il latino per significa iniettivo in, quindi significa che tracciamo tutto . (Questo sarebbe compatibile con biiettiva = iniettiva e suriettiva; sarebbe difficile dire che una linea verticale è "biiettiva" quando per e$x \ne c$ non possiamo averne $(x,\sim)$.) Quindi ne abbiamo bisogno se non c'è $(m,w)\in F$ per alcuni $m \in X$ poi $m$non è affatto tracciato. quindi la definizione di injection dovrebbe includere quell'aspetto. Quindi come sottoinsieme$\{c\}\times \mathbb R$ la linea è iniettiva ma come sottoinsieme di $\mathbb R\times \mathbb R$non lo è. Nota: per questa definizione di iniettivo$F= \{(x,y)| x = \tan(y)\}$sarà iniettivo ma certamente non una funzione. (Per ogni$x$ ci sarà un $y = \arctan x$ così $(x, y)\in F$. E se$(a, y),(b,y) \in F$ poi $a = b =\tan y$. Ma non è certamente una funzione come$(x, \arctan x)$ e $(x, \pi + \arctan x)$ sono entrambi in $F$ quindi non abbiamo la condizione di ingresso singolo / uscita singola.)
Direi che per tutti gli scopi pratici "iniezione" si riferisce solo a una funzione e se qualcosa non è una funzione dimenticalo. Dopo tutto, perché creare problemi.