Valore massimo di $\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)$?

Question

Quindi mi sono imbattuto in una domanda nel mio libro di testo:

Nel triangolo ABC, se $A$,$B$,$C$ rappresentano gli angoli, quindi trova il valore massimo di $\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)$?

Quindi ho già provato e messo meglio e messo il mio sangue, sudore e lacrime in questa domanda ... Ma non sono in grado di risolvere ulteriormente!

Quindi ecco il mio approccio: usando $\sin(C)+\sin(D)$ e $A+B+C= \pi$;

1. $2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+\cos(\frac{A+B}{2})$ Ora, utilizzando $\cos(2A)$ formula ie, $1-2\sin^2(A) $
2. $2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+1-2\sin^2(\frac{A+B}{4})$
3. Quindi sono diventato quadratico in variabile $\sin(\frac{A+B}{4})$
4. $-2\sin^2(\frac{A+B}{4})+2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+1$

Ma non so cosa fare dopo

Posso risolvere questa domanda usando questo metodo o devo usare un approccio diverso!

A proposito, la risposta è 3/2

Modifica: ho appena finito il liceo e mi sto preparando per l'esame di ammissione IIT-JEE, quindi per favore non usare termini duri per risolvere questa domanda.

Questa soluzione è stata inviata dal mio insegnante, almeno fammi capire questa [https://i.stack.imgur.com/51pCB.png]

Answer 1

Dove ti sei fermato, lascia $$z=-2\sin^2x+1+2\sin x\cos y$$

$$\iff2\sin^2x-2\sin x\cos y+z-1=0$$

Come $\sin x$ è reale, il discriminante deve essere $\ge0$

$\implies8(z-1)\le(-2\cos y)^2\le2^2$

$\implies8z\le4+8$

L'uguaglianza si verifica se $\cos^2y=1\iff\sin y=0$

E conseguentemente $\sin x=\mp\dfrac{\cos y}2=\mp\dfrac12$

Answer 2

Da $\sin x$è concavo in acuto$x$, dalla disuguaglianza di Jensen il massimo si trova a$A/2=B/2=C/2=\pi/6$, come $3\sin\pi/6=3/2$.

Modifica: poiché l'OP menzionato in un commento alla risposta di @ B. Goddard che conoscono la differenziazione, ecco un'altra prova che il caso equilatero raggiunge un massimo:

Continua a usare $\frac{C}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}$. Extemize$\sin\frac{A}{2}+\sin\frac{B}{2}+\cos\frac{A+B}{2}$ risolvere contemporaneamente$$\tfrac12\cos\tfrac{A}{2}-\tfrac12\cos\tfrac{C}{2}=0,\,\tfrac12\cos\tfrac{B}{2}-\tfrac12\cos\tfrac{C}{2}=0$$cioè. $A=B=C$. Lascio al lettore la verifica che sia un massimo considerando le derivate secondarie.

Answer 3

Puoi farlo con i moltiplicatori Lagrange. Massimizza$f=\sin x/2 + \sin y/2+\sin z/2$ sotto il vincolo $g=x+y+z = \pi$.

Poi

$$\nabla f = \langle \cos(x/2)/2, \cos(y/2)/2, \cos(z/2)/2 \rangle =\lambda\langle 1,1,1 \rangle = \nabla g.$$

Questo dimostra che $x=y=z$ e il triangolo massimo è equilatero.

Answer 4

In un triangolo ABC, $A+B+C=\pi$ $$f(x)=\sin(x/2) \implies f''(x)=-\frac{1}{4}\sin(x/2)<0, x\in[0,2\pi].$$ Quindi dalla disuguaglianza di Jemsen $$\frac{f(A/2)+f(B/2)+f(C/2)}{3} \le f(\frac{A+B+C}{6}).$$ $$\implies \frac{\sin (A/2)+\sin(B/2)+\sin{C/2}}{3} \le \sin\frac{\pi}{6}.$$ $$\implies \sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2) \le \frac{3}{2}$$