Valutare $\int_{-1}^{1}x^2\mathrm d(\ln x)$
Dovrei valutare l'integrale $\int_{-1}^{1}x^2\mathrm d(\ln x)$. L'ho risolto tradizionalmente semplificando il differenziale in$1/x . \mathrm dx$. Questo dà la risposta come$0$. Ma secondo le soluzioni, la seguente risposta è stata data per essere corretta.
$$\int_{-1}^{1}x^2\mathrm d(\ln x)=\int_{1/e}^{e}x^2 \frac{1}{x}\mathrm dx=\frac{1}{2}\left(e^2-e^{-2}\right)$$
Non vedo perché la soluzione dovrebbe essere questa. Inoltre con un logaritmo i limiti dell'integrazione sono$-1$ per $1$, il che sembra problematico. Qualcuno potrebbe confermare quale è corretto. Grazie.
Risposte
@VIVID ha ragione. La notazione integrale può essere ingannevolmente concisa a volte, se confrontata con somme come$\sum_{i=A}^{i=B}h(i)$. Dobbiamo mettere l'equivalente di$i=$nei limiti qui. Quando scriviamo$\int_a^bf(x)dg(x)$, la convenzione è che significa $\int_{g(x)=a}^{g(x)=b}f(x)dg(x)$, che per aumentare rigorosamente $g$ diventa $\int_{x=g^{-1}(a)}^{x=g^{-1}(b)}f(x)g^\prime(x)dx=\int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)}f(x)g^\prime(x)dx$.
Il più delle volte, incontri solo il caso $g(x)=x$. In tutta onestà, alcune fonti intenderanno dei limiti$a,\,b$ per $x$ invece di $g(x)$. Non funzionerebbe qui, però, perché$\ln x$ è indefinito nei reali per $x\le0$.
Nota: in questo problema,$\ln x \in [-1,1]$ il che implica $x \in [1/e,~e]$( non $x \in [-1,1]$).
Fai una sostituzione $(t = \ln x)$ per vedere cosa sta succedendo: $$\int_{-1}^{1}x^2\mathrm d(\ln x)=\int_{-1}^{1}x^2 \mathrm dt\overset{t~\to~ x}=\int_{1/e}^{e}x^2 \frac{1}{x}\mathrm dx=\frac{x^2}{2}\bigg|_{1/e}^e=\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2e^2}$$
noi abbiamo: $$I=\int_{-1}^1x^2d(\ln x)$$ e ricorda che possiamo scrivere questo come: $$d(\ln x)=\frac{d(\ln x)}{dx}dx=\frac1xdx$$ tuttavia, dobbiamo anche considerare che abbiamo: $$(\ln x)\in[-1,1]\Rightarrow x\in[e^{-1},e]$$
Un altro modo di pensare a questo problema sarebbe usare la sostituzione, o qualcosa che trovo una bella visualizzazione: $$x=e^{\ln x}\Rightarrow x^2=\left(e^{\ln x}\right)^2$$ quindi abbiamo: $$I=\int_{-1}^1\left(e^{\ln x}\right)^2d(\ln x)=\left[\frac{e^{2\ln x}}{2}\right]_{\ln(x)=-1}^1$$
Inoltre, prova a tracciare un grafico con $\ln x$ sull'asse x e $x^2$ sull'asse y e guarda che forma si forma, spero che questo aiuti :)
Non sono d'accordo con tutte le risposte e sono d'accordo con il punto di vista del PO.
Si può affermare che la variabile indipendente è $x$ e l'integrale avrebbe dovuto / avrebbe potuto essere espressamente scritto come
$$\int_{x=-1}^{x=1} x^2 d \ln x = \int_{x=-1}^{x=1} x\, dx =0.$$
Dopotutto, ho visto questa notazione usata come abbreviazione per l'integrazione per parti ei limiti riferiti alla variabile indipendente ($x$) e non a una funzione della variabile.
Il fatto che $\ln x$ non è definito per $x=-1$non esclude la possibilità che l'integrale sia un integrale di retta nel piano complesso. Forse un valore principale. Poi abbiamo altre preoccupazioni (che non sono insormontabili), punti di diramazione e tagli di diramazione ...