Verifica del risultato dell'integrale trigonometrico

Question

Sto cercando di calcolare l'integrale di seguito:

$$ \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{(-5\sin t-10\cos t\sin t)^2+(-5\sin^2t+5\cos^2t+5\cos t)^2} dt $$

Dopo alcune lunghe manipolazioni, ottengo il seguente come risultato dell'integrale indefinito:

$$ 20\sin\frac{t}{2} $$

Questo sembra corretto, come confermato da Wolframalpha e da molti altri calcolatori integrali online. Ora, il foglio delle risposte dice che il risultato è$40$ (di nuovo: confermato da Wolframalpha), ma come potrebbe essere - quando si collega $2\pi$ e $0$ come i limiti dell'integrazione, il risultato dovrebbe essere $0$. O il mio cervello si è appena spento?

Answer 1

È perché devi tenere conto del segno del modulo!

Hai $$10\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\cos^{2}(\frac{t}{2})}dt=10\int_{0}^{2\pi}|\cos(\frac{t}{2})|dt$$ $$=10\big[\int_{0}^{\pi}\cos(\frac{t}{2})dt-\int_{\pi}^{2\pi}\cos(\frac{t}{2})dt\big]$$ $$=20\big[\sin(\frac{t}{2})\big|_{t=0}^{t=\pi}-\sin(\frac{t}{2})\big|_{t=\pi}^{t=2\pi}\big]$$ $$=20\big[1-0-(0-1)\big]=20\cdot2=40.$$

Answer 2

ho ottenuto

$$ I = \int_{0}^{2\pi} 10 |cos t/2|dt \\ = \int_{0}^{\pi} 20 |cos u|du \\ = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 20 |cos u|du \\ = 40 $$

Qui ho usato la proprietà delle funzioni pari per modificare i limiti $0$ per $\pi/2$. Integrand è zero agli endpoint ma non nel mezzo, quindi integrale non sarà zero.