Zero è sempre un sottomodulo Superfluo.

Question

Definizione:-1  Un sottomodulo$N$ di un modulo$M$  si dice superfluo (o piccolo) se non esiste un proprio sottomodulo  $K$di  $M$tale che $M=N+K$.

Definizione:-2 Jacobson radicale$J(M)$di un modulo$M$è la somma di tutti i sottomoduli superflui di$M$.

Ho una confusione sul caso banale. Chiaramente, il sottomodulo zero di ogni modulo diverso da zero è superfluo. Ma quando$M=0$poi$J(M) =0$. Da queste nozioni, credo$0$dovrebbe essere un sottomodulo superfluo di$0$. Per favore cancella il mio dubbio. Ti sarò molto grato.

Answer 1

$0$è anche un sottomodulo superfluo di$M=0$, perché per tutti i sottomoduli propri$K\subsetneq M$, noi abbiamo$0+K\ne 0$.