1 차, 선형, 동종, 경계 값 PDE에 대한 솔루션의 고유성
동종 선형 1 차 PDE를 고려하십시오.
$$L u \equiv \left( \sum_{i = 1}^d f^i(x) \frac{\partial}{\partial x^i} + c(x) \right) u(x) = 0$$
일부 컴팩트 도메인에서 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$. 분명히이 시스템은 항상$u = 0$해결책으로; 제 질문은 계수에 어떤 종류의 조건이$f^i(x)$ 과 $c(x)$ 경계 조건에 따라 제로 솔루션이 고유하다는 것을 보장하기에 충분합니다. $u|_{\partial \Omega} = 0$.
1 차 PDE의 자세는 일반적으로 특성의 방법을 통해 연구된다는 것을 알고 있지만 일반적으로 PDE를 초기 값 표면에 지정되고 경계 조건이 지정된 초기 값 문제로 PDE를 생각할 때 유용하다는 것을 이해합니다. 거기에서 진화했습니다. 왜냐하면 여기서 저는 시스템을 Dirichlet 문제로 취급하고 있습니다.$Lu = g$, $u|_{\partial \Omega} = h$일반적으로 자세가 좋지 않을 수 있습니다. 하지만 동질 문제에 대한 제로 솔루션의 고유성에만 관심이 있기 때문에 괜찮습니다.
Oleinik과 Radkevic (https://www.springer.com/gp/book/9781468489675)는 음이 아닌 특성 형식을 가진 2 차 선형 PDE를 고려하며, 위에서 지정한 방정식은 특수한 경우입니다 (특성 형식이 동일하게 0이기 때문에). 그런 다음 예를 들어이 책의 정리 1.6.2에서 제로 솔루션은$c^* < 0$ 에 $\Omega \cup \partial \Omega$, 어디 $c^* \equiv c - \sum_{i = 1}^d \partial_i f^i$ adjoint의 제로 파생 항입니다. $L^*$ 의 $L$. 하지만 운영자가$L$ 내가 신경 쓰는 것은 진정으로 1 차 오퍼레이터이지만 $c^* < 0$ 2 차 연산자를 고려할 때 비롯됩니다. 제로 솔루션의 고유성에 대한 일반적인 조건이 $c^* < 0$.
답변
특성의 방법은 이것을 해결하는 올바른 방법처럼 보입니다. 만족하는 길을 따라${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$, 하나는 $u(\vec{x}(t))$ 에 따라 진화 ${\rm d}u/{\rm d}t = -c u$. 경로가 다음에서 끝나는 경우$\partial\Omega$, 다음 $u(x) = 0$전체 경로를 따라. 이것은 0이 아닌 솔루션의 존재에 대한 첫 번째 필수 조건으로 이어집니다 .
(1) $\exists$ 통로 $\vec{x}(t)$ 만족스러운 ${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$ 원점 및 종점 포함 (제한 $t \rightarrow \pm\infty$) 내부 $\Omega$.
연속 $u(\vec{x})$, 의 가치 $u(\vec{x}(t))$ 언제 갈라질 수 없다 $t \rightarrow \pm\infty$. 측정 값 0 세트를 제외하고 모든 경로$\vec{x}(t)$리 펄서에서 시작하여 어 트랙터에서 끝납니다 (예 : 안장 지점이 아님). 따라서 0이 아닌 솔루션의 존재에 필요한 두 가지 조건 은 다음과 같습니다.
(2) $c < 0$ ...에서 $\vec{x}(-\infty)$
(삼) $c > 0$ ...에서 $\vec{x}(+\infty)$
측정 값 0을 제외하고는 이러한 불평등이 엄격하다고 가정 할 수 있습니다. $c < 0$ 과 $c > 0$, 각각 (수렴은 $c = 0$그러나 파생 용어에 따라 보장되지는 않습니다.) 완전 부등식으로 인해 조건 (1-3)은 0이 아닌 솔루션 에도 충분 합니다.$u(\vec{x})$존재합니다. 다음과 같이 볼 수 있습니다.
포인트로 시작 $\vec{x}_0$ 길을 따라 $\vec{x}(t)$, 크기 정의-$\epsilon$ 단면 (유선에 직각) ${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$) 그리고 posit that $u(\vec{x})$ 매끄럽게 변화 $u(x_0) = 1$ ...에 $u = 0$횡단면의 경계에서. 의 가치$u(\vec{x})$ 이 단면의 "과거"및 "미래"를 따라 다음을 사용하여 특성을 전파하여 얻을 수 있습니다. ${\rm d}u/{\rm d}t = -c u$. 이러한 모든 특성은 동일한 repulsor (여기서$u = 0$) 동일한 어 트랙터에서 종료합니다 (또한 $u = 0$). 나머지를 채우십시오.$\Omega$ 널 솔루션으로 $u = 0$. 따라서 우리는 PDE에 대해 0이 아닌 연속 값 솔루션을 구성했습니다.
필요하고 충분한 조건이 일치하지 않는 경우가 많습니다. 즉, $\lVert f \rVert = u = 0$ 같은 지점에서 (크기를 조정하여 수정 가능 $f$ 과 $u$), 만약 $\lVert f\rVert = 0$ 공개 하위 집합을 통해 $\Omega$, 만약 $\lVert f\rVert = 0$ 경계에 $\partial\Omega$, 만약 $c = 0$ ...에서 $\vec{x}(\pm\infty)$. 가능한 기능의 공간에서$(\vec{f}, u)$, 이러한 단수 사례는 측정 값 0 집합에서만 발생하므로 그다지 흥미롭지 않습니다. 거의 모든 곳에서, 조건 (1-3)입니다 모두 필요 충분.
다르게 말하면, 다음과 같은 경우 제로 솔루션이 고유 하다고 (거의 모든 곳에서) 말할 수 있습니다 .
$\forall$ 경로 $\vec{x}(t)$ 만족스러운 ${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$ 내부의 원점과 종점 $\Omega$,
$c > 0$ ...에서 $\vec{x}(-\infty)$ 또는 $c < 0$ ...에서 $\vec{x}(+\infty)$.
당신의 상태로 돌아오다 $c^* < 0$: 참고 $\partial_i f^i < 0$어 트랙터 (노드, 리미트 사이클, 토 로이드, 카오스 어 트랙터 등에 관계없이 항상 유지됩니다.) 따라서$c^* < 0$ 의 위에 $\Omega$, 그것은 다음과 같습니다 $c = c^* + \partial_i f^i < 0$모든 어 트랙터에서. 따라서 위의 두 번째 조건은$c^* < 0$. 위의 조건은 고유성을위한보다 일반적인 충분하고 필요한 조건입니다 (위에 언급 된주의 사항 포함).
이후 임의의 동적 시스템에 의해 표현 될 수있다${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$ 동적 시스템은 정말, 정말 복잡 할 수 있습니다. 일반적인 조건은 작업하기 어려울 수 있습니다. $c^* < 0$ 더 유용 할 수 있습니다.
또한, 값을 정의 $c$어 트랙터 / 리 펄서가 포인트가 아닐 때 까다 롭습니다. 한계 사이클을 초과하는 평균을 취하는 것은 간단하고 혼란스러운 어 트랙터는 덜합니다 (에르 고딕 이론).