21 차 메타 사이클 그룹의 실현
나는 노나 벨리 안 질서 그룹을 이해하고 싶습니다 $pq$ (와 $q | p-1$) 더 좋습니다. 에 대한$q=2$ 이것이 제가 편한 2 면체 그룹입니다.
각각 $pq$이 그룹 중 정확히 하나가 있다는 것을 알고 있습니다. 반 직접 제품입니다. Sylow 구조는$n_q = p$ 과 $n_p = 1$. 나는 그들에 대해 많이 모른다.
다음과 같은 흥미로운 그룹 순서 21, 39, 55, 57, 93을 계산했습니다. 그리고 21에 대해 물어볼 것입니다.
노나 벨리 안 순서 21의 대칭 그룹은 무엇입니까?
나는 이것을 조사했지만 좋은 대답을 찾지 못했습니다. 나는 그것이 다면체의 회전 대칭이나 뒤틀린 퍼즐이라고 생각하지 않습니다. fano plane은 각 줄에 7 개의 선과 3 개의 점이있는 것을 보았지만 사용할 수 있는지 모르겠습니다. 이 그룹은 어떤 유형의 디자인 코드에 따라 자연스럽게 행동합니까? 아니면 더 깊은 수준에서 그들을 이해하는 더 좋은 방법이 있습니까? 감사!
답변
모든 분야에서 $F$ 아핀 변환 그룹이 있습니다.
$$x \mapsto ax + b, a \in F^{\times}, b \in F$$
아핀 라인에서 행동 $\mathbb{A}^1(F)$ (세트로 그냥 $F$). 동등하게 이것은 그룹입니다$2 \times 2$ 행렬
$$\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array} \right].$$
유한 한 필드 위에 $F = \mathbb{F}_q$ 우리는 노나 벨리 안 가족을 얻습니다 ( $q = 2$) 주문 그룹 $q(q - 1)$ 의 작용으로 만들어진 반 직접 제품입니다. $\mathbb{F}_q^{\times}$ 의 위에 $\mathbb{F}_q$곱셈으로. 또한 우리는 제한함으로써이 그룹의 하위 그룹을 고려할 수 있습니다.$a$ 하위 그룹에 $F^{\times}$. 관심있는 모든 그룹은 이런 방식으로 구성 할 수 있습니다.
관심있는 특정 그룹은 다음과 같은 경우에 발생합니다. $q = 7$ 과 $a$ 하위 그룹에 속하도록 제한됨 $(\mathbb{F}_7^{\times})^2$ 정사각형 요소 $\mathbb{F}_7^{\times}$. 그것은 A의 프로 베니 우스 군 및 해당 페이지에 따라 또한 파노면에 작용한다.