3 + 1 분해에 대한 역 메트릭

단번에 해보자. spiridon이 질문에 대한 답변을했지만 spiridon의 답변에는 추측 작업이 포함되어 있으므로 공식적으로 파생시키고 싶습니다. 분할 행렬의 역을 계산해야하는 상황이 있습니다. 따라서 먼저 분할 행렬의 역에 대한 일반 공식을 도출 한 다음이를 메트릭에 적용하겠습니다.

두 개의 비 단수를 보자 $n\times n$ 행렬 $A$ 과 $B$ 다음과 같이 분할됩니다. \begin{align} A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}. \end{align} 허락하다 $A_{11}$ 과 $B_{11}$ 있다 $k\times k$ 행렬 $k<n$. 우리는 또한 가정합니다,\begin{align} \det (A_{11})\neq0;\quad\det (A_{22})\neq0. \end{align} 자, 만약 $B=A^{-1}$, 다음의 구성 요소 행렬을 찾을 것입니다 $B$ 구성 요소 매트릭스 측면에서 $A$. 우리는\begin{align} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{k\times k} & O_{k\times n-k}\\ O_{n-k\times k} & I_{n-k\times n-k} \end{pmatrix} \end{align} 이 행렬 관계는 다음과 같이 감소합니다. \begin{align} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}&=I_{k\times k}\qquad &&(1)\\ A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}&=O_{k\times n-k}\qquad &&(2)\\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}&=O_{n-k\times k}\qquad &&(3)\\ A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}&=I_{n-k\times n-k}\qquad &&(4) \end{align} (2)와 (3)에서 우리는 \begin{align} B_{12}=-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}\\ B_{21}=-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11} \end{align} 이것을 (1)과 (4)로 대체하면, \begin{align} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)B_{11}&=I_{k\times k}\\ \left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)B_{22}&=I_{n-k\times n-k} \end{align} 그 후, \begin{align} B_{11}&=\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}\\ B_{22}&=\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1} \end{align} 이제 이것을 (2)와 (3)으로 대체하면, \begin{align} B_{12}&=-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}=-A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ B_{21}&=-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11}=-A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} \end{align} 따라서, \begin{align} B=A^{-1}=\begin{pmatrix} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ -A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} &\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1} \end{pmatrix} \end{align} 우리 목적을 위해 확장하는 것이 편리 할 것입니다. $\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}$Woodbury 매트릭스 정체성 측면에서 . 먼저 정체성을 도출합시다. 참고로\begin{align} U+UCVM^{-1}U=UC\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)=\left(M+UCV\right)M^{-1}U \end{align} 이것은 다음을 의미합니다. \begin{align} \left(M+UCV\right)^{-1}UC=M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}, \end{align}필요한 모든 역이 존재한다면! 그때,\begin{align} M^{-1}&=\left(M+UCV\right)^{-1}\left(M+UCV\right)M^{-1}\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}\left(I+UCVM^{-1}\right)\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}+\left(M+UCV\right)^{-1}UCVM^{-1}\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}+M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}VM^{-1} \end{align} 그러므로, \begin{align} \left(M+UCV\right)^{-1}=M^{-1}-M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}VM^{-1} \end{align}위의 신원을 Woodbury 행렬 신원 이라고합니다 . 이제 식별$M=A_{22}$, $U=-A_{21}$, $C=A_{11}^{-1}$ 과 $V=A_{12}$, 우리는 얻는다, \begin{align} \left(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}\right)^{-1}=A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}. \end{align} 따라서 마침내 우리는 \begin{align} A^{-1}= \left( \begin{array}{c|c} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ \hline -A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} &A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \end{array} \right) \end{align}이 일반 공식을 도출 한 후 다시 메트릭의 역 계산으로 돌아가 보겠습니다. 우리는\begin{align} g_{mn}= \left( \begin{array}{c|c} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha \\ \hline N_{\alpha} & h_{\alpha\beta} \end{array} \right) \end{align} 지금, \begin{align} A_{11}=-N^2+N_\gamma N^\gamma, \quad A_{12}=N_\alpha,\quad A_{21}=N_\alpha,\quad A_{22}=h_{\alpha\beta}. \end{align} 우리는 또한 $A_{22}^{-1}=(h_{\alpha\beta})^{-1}=h^{\alpha\beta}$. 그때,\begin{align} g^{00}=\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}=(-N^2+N_\gamma N^\gamma-N_\alpha h^{\alpha\beta}N_\beta)^{-1}=-N^{-2}, \end{align} 과 \begin{align} g^{\alpha 0}&=-A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}\nonumber\\ &=-h^{\alpha\beta}N_\beta(-N^2+N_\gamma N^\gamma-N_\alpha h^{\alpha\beta}N_\beta)^{-1}=N^{-2}N^\alpha=g^{0\alpha}, \end{align} 그리고 마지막으로, \begin{align} g^{\alpha\beta}&=A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}\\ &=h^{\alpha\beta}+h^{\alpha\gamma}N_\gamma\left(-N^2+N^\sigma N_\sigma-N_\xi h^{\xi\mu}N_\mu\right)^{-1}N_\rho h^{\rho\beta}\nonumber\\ &=h^{\alpha\beta}-N^{-2}N^\alpha N^\beta \end{align}짜잔! 즐겨!

글쎄, 아마도 추측없이 이것을하는 더 명확한 방법이있을 것입니다. 역행렬의 정의부터 시작하겠습니다.$$ g^{\mu \alpha} g_{\alpha \nu} = \delta_{\nu}^{\mu} $$ 또는 더 구체적으로 : $$ \begin{pmatrix} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha\\ N_\alpha & h_{\alpha\beta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g^{00} & g^{0 \alpha}\\ g^{0 \alpha} & g^{\alpha \beta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ 구성 요소에 작성 : $$ \begin{align} (-N^2+N_\gamma N^\gamma) g^{00} + N_\alpha g^{0 \alpha} = 1 \\ (-N^2+N_\gamma N^\gamma) g^{0\alpha} + N_\beta g^{\beta \alpha} = 0 \\ N_\alpha g^{0\beta} + h_{\alpha \gamma} g^{\gamma \beta } = \delta_\alpha^{\beta} \end{align} $$ 이제 대칭을 사용하여 $g_{\mu \nu}, h_{\mu \nu}$ 교환 중 $\mu \leftrightarrow \nu$, 사람이 볼 수 있습니다. $ D(D+1) / 2$ 원칙적으로 풀 수있는 동일한 수의 미지에 대한 선형 방정식.

이러한 작업을 직접 수행하는 것은 지루한 작업으로 보이므로 교육받은 추측이있을 수 있습니다. 우리가 알고 있다고 가정하면$g^{00}$ 이다 $-N^2$, 일반적으로 ansatz는 $\alpha N^2 + \beta N_\alpha N^{\alpha}$, 첫 번째 방정식은 다음을 설정하여 즉시 해결됩니다. $$ g^{0 \alpha} = N^{-2} N^{\alpha} $$그러면 두 번째 줄을 볼 수 있습니다. 여기에 가정하는 것도 당연합니다.$g^{\mu \nu} = h^{\mu \nu} + b^{\mu \nu}$, 어디 $b^{\mu \nu}$또한 대칭입니다. 이 대체는 다음을 제공합니다.$$ -N^{\alpha} - N^{-2} N_\gamma N^\gamma N^{\alpha} + N^{\alpha} + N_\beta b^{\beta \alpha} = 0 $$ 여기에서도 볼 수 있습니다. $b^{\mu \nu} = -N^{-2} N^{\beta} N^{\alpha}$ 일을합니다.

이 답변은 spiridon 중 하나를 약간 확장하고 OP 설정의 일부를 약간 다른 언어로 다시 표현합니다.

역 메트릭 $g^{-1}$텐서이기 때문에 좌표 독립적입니다. 따라서 특정 좌표계에서 역 메트릭의 구성 요소를 결정하는 한 가지 방법은 좌표 독립 표현에서 파생하는 것입니다. 위트, 역 메트릭스를 기준으로$\{{\bf e}_a\}$ ~에 의해 주어진다 $$ g^{-1} = g^{ab}\, {\bf e}_a \otimes {\bf e}_b, $$ 그 구성 요소는 $g^{-1}$ 이중으로 $\{{\bf e}^a\}$: $$ g^{ab} = g^{-1}({\bf e}^a,{\bf e}^b). $$ 시공간의 3 + 1 분해는 스칼라 필드의 평평한 표면 (실제로 초 표면)에 의해 실현됩니다. $f$. 단위 정상은$n^a = - N g^{ab} \nabla_b f$. 단위 정상에서$n^a$ 하나는 프로젝터를 병렬로 구성 할 수 있습니다 ($P_\parallel$) 및 직교 ($P_\perp$). 그 구성 요소는 다음 식으로 제공됩니다.$$ P_\parallel{}^{a}{}_{b} \equiv - n^a n_b, \qquad P_\perp{}^{a}{}_{b} \equiv \delta^a_b - P_\parallel{}^{a}{}_{b} = \delta^a_b - n^a n_b. $$ 이 프로젝터를 사용하면 메트릭의 구성 요소를 결정할 수 있습니다. $g_{ab}$ 초 표면 엽면과 관련하여 : $$ g_{ab} = h_{ab} - n_a n_b \equiv P_\perp{}^{c}{}_{a} P_\perp{}^{d}{}_{b}g_{cd} - n_a n_b. $$ 텐서 필드 $h_{ab}$단위 법선과의 모든 수축이 사라지기 때문에 초 표면에 유도 된 측정 항목입니다. 마찬가지로 역 메트릭의 구성 요소가 다음을 충족하는지 확인할 수 있습니다.$$ g^{ab} = h^{ab} - n^a n^b \equiv P_\perp{}^{a}{}_{c} P_\perp{}^{b}{}_{d}g^{cd} - n^a n^b.\tag{1}\label{inverse} $$ 주어진 하이퍼 서피스에서 $f=t$, 하나는 하나의 매개 변수 좌표 세트를 소개합니다. $y^\alpha$ 함수로 매끄럽게 변하는 $t$. 이것은 벡터 필드 세트를 생성합니다.$e_\alpha{}^a \equiv \partial x^a/\partial y^\alpha$초 표면에서 시공간으로의 임베딩 맵 역할을하는 초 표면에 접선. 특히 유도 메트릭은 관계식을 통해 이러한 새로운 좌표로 표현할 수 있습니다.$h_{\alpha\beta}=h_{ab}e_\alpha{}^a e_\beta{}^b$. 이 좌표계에서 시간 벡터는$t^a$ 일반적으로 초 표면에 직교하지 않지만 직교로 분해 될 수 있습니다. $N$ 접선 $N^\alpha$ 부속: $$ t^a = Nn^a + N^\alpha e_\alpha{}^a.\tag{2}\label{decomposition} $$ 참고 $\nabla_a f = -N^{-1}n_a$ 시간 벡터의 이중입니다. $t^a$. \ eqref {decomposition}을 \ eqref {inverse}로 대체하면 다음이 생성됩니다.$$ g^{\mu\nu} = - N^{-2} t^\mu t^\nu + N^{-2} t^\mu N^\alpha e_\alpha{}^\nu + N^{-2} t^\nu N^\alpha e_\alpha{}^\mu + \left(h^{\alpha\beta} - N^{-2} N^\alpha N^\beta \right) e_\alpha{}^a e_\beta{}^b. $$ 주어진 좌표계에서 역 메트릭의 구성 요소는 수축으로 찾을 수 있습니다. \begin{align} g^{00} &= g^{ab}\nabla_a f \nabla_b f = - N^{-2},\\ g^{0\alpha} &= g^{ab} \nabla_a f\; e_b{}^\alpha = N^{-2} N^\alpha= g^{a0},\\ g^{\alpha\beta} &= g^{ab}e_a{}^\alpha e_b{}^\beta = h_{\alpha\beta} - N^{-2} N^\alpha N^\beta. \end{align}

참조 :

• E. Poisson (2007), A Relativist 's Toolkit -3, 4 장
• E. Gourgoulhon (2012), 3 + 1 형식주의와 수치 상대성 이론 -2, 3 장