반복 체계에 대한 수렴 조건

Aug 18 2020

허락하다 $A$단수 및 대칭 행렬 이어야합니다.$\lambda_1=0$$\lambda_i >0$ ...에 대한 $i=2,\ldots,n$.

반복 고려

$$x^{*} = b- (A-I)x_k$$ $$x_{k+1} = \alpha x^{*} +(1- \alpha)x_k$$

어떤 조건에서 $x_0$, $\alpha$$b$, 진정한 솔루션으로 수렴합니까? $Ax =b$?


정말 움직일 수 없습니다. 나는 계산을 시도했다$e_{k+1}$하지만 유용한 관계를 찾을 수 없었습니다. 또한 제약 조건을 찾는 방법을 모르겠습니다.$x_0$.


편집하다

@uranix 댓글을 따르려고했고 다음을 발견했습니다. $$e_{k+1} = \alpha b + (I - \alpha A) x_k -x $$

내가 (일관성을 사용하여) 다시 작성 $$e_{k+1} = (I-\alpha A)(x_k -x)=(I- \alpha A)e_{k}$$

따라서 $$e_{k+1} = (I-\alpha A)^k e_0$$

이제 스펙트럼 반경이 $1$, 하지만 그때부터 $$\lambda(I -\alpha A)= 1-\lambda(A)$$ 나는 첫 번째 고유 값이 $1-\alpha \lambda_1=1-\alpha \cdot 0 = 1$

그래서 수렴에 대해 아무 말도 할 수 없습니다 ... 다른 방법이 있어야합니다. 사실 저는 대칭을 사용하지 않았고$x_0$, 텍스트에 쓰여진대로

답변

uranix Aug 18 2020 at 17:42

약간의 힌트.

코멘트에서 말했듯이 고유 값 기반을 고려하십시오. 기저 벡터는 직교하며 정규 직교 기저를 형성하도록 스케일링 될 수 있습니다.$$ A \phi_m = \lambda_m \phi_m, \quad m = 1, \dots, m\\ (\phi_m, \phi_{m'}) = \delta_{mm'}. $$

기본적으로 오류 벡터 확장 $e_k = \sum_{m=1}^n c_{k,m} \phi_m$확장 계수를 사용하여 수렴 조건을 다시 작성할 수 있습니다. Parseval의 ID 사용$$ \|e_k\|_2^2 = \sum_{m} c_{k,m}^2 $$ 우리는 그것을 얻습니다 $e_k \to 0$ 모든 경우에만 발생 $m$ 각 계수는 0으로 수렴합니다. 즉 $$ \lim_{k \to \infty} c_{k,m} = 0, \quad m = 1,\dots,n. $$

함께 행동 $(I - \alpha A)^k$ 의 위에 $e_0$ 각 고유 값에 대해 개별적으로 작동합니다. $$ e_k = (I - \alpha A)^k e_0 = (I - \alpha A)^k \sum_{m=1}^n c_{0,m} \phi_m = \\ = \sum_{m=1}^n c_{0,m} (I - \alpha A)^k \phi_m = \sum_{m=1}^n c_{0,m} (1 - \alpha \lambda_m)^k \phi_m. $$

오른쪽과 비교 $\sum_{m=1}^n c_{k,m} \phi_m$ 우리는 즉시 관계를 얻습니다. $$ c_{k,m} = (1 - \alpha \lambda_m)^k c_{0,m}. $$

이제 조건을 찾는 것은 당신에게 달려 있습니다. $\lim_{k \to \infty} c_{k,m} = 0$ 모든 $m = 1,\dots,n$.