방정식 대입으로 인한 외부 솔루션

Question

나는 당신이 어떻게 외부 솔루션으로 끝날 수 있는지에 대한이 예를 보았지만 어떻게 발생했는지 궁금합니다. 방정식이 있습니다.$$x^2+x+1=0 $$ x = 0은 방정식을 만족하지 않으므로 양쪽에서 x로 나눌 수 있습니다. $$x+1+\frac{1}{x}=0$$이것은 첫 번째 방정식과 같습니다. 첫 번째 방정식에서 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.$$-x^2=x+1$$ 이제 두 번째 방정식으로 대체하여 다음을 얻습니다.$$x^2=\frac{1}{x}$$ 결과적으로 $$x^3=1$$x는 0이 될 수 없기 때문에 이전 방정식과 동일합니다. 그러나 마지막 방정식의 한 해는 x = 1이며, 원래 방정식에 대한 해가 아닙니다. 나는 그것이 당신이 3 차 방정식을 얻고 당신이 2 차 방정식으로 시작했다는 사실과 관련이있을 수 있다는 막연한 생각을 가지고 있습니다. 그리고 그 단계는 그 반대가 아닌 다음을 의미하지만 그 이유에 대해 매우 상세한 답을 제공 할 수 있습니까? 발생합니까? 더 많은 예를 들어 주시겠습니까?

Answer 1

우리가 전화하면 $A(x)=x^2+x+1$ 과 $B(x)=x+1+\frac1x$, 다음과 같이 귀하의 구절을 도식화 할 수 있습니다. $$A(x)=0\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ A(x)=0 \\B(x)=0\end{cases}\stackrel{!!!}\Rightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)-A(x)=0\end{cases}$$

동등성을 유지하려면 $A(x)=0$ 에 $\begin{cases}x\ne0\\ B(x)-A(x)=0\\ A(x)=0\end{cases}$

Answer 2

이 대체 ($x+1=-x^2$) 방정식의 근 세트를 확장합니다.

때문에 $-x^2$ 또한 $x$.

당신은 대체 할 수 있습니다 $x+1=y$예를 들어.

더 많은 예는 유사한 대체가 유사한 문제를 제공하는 경우입니다.

해결해야합니다 $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$$

우리는 다음을 얻습니다. $$\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)^3=x-1$$ 또는 $$2x+1+x+1+3\sqrt[3]{2x+1}\cdot\sqrt[3]{x+1}\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)=x-1.$$ 이제부터 $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1},$$ 뭔가 나쁜 것을 얻을 수 있습니다. $$3\sqrt[3]{(2x+1)(x+1)(x-1)}=-3-2x$$ 또는 $$x(440x^2+630x+189)=0$$ 옵션 중 하나로 $x=0$.

쉽게 볼 수 있습니다. $0$ 시작 방정식의 뿌리가 아니며 발생했습니다.

올바르지 않은 대체를 사용했기 때문에 $\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$

이제 방정식의 모든 근이 $440x^2+630x+189=0$ 시작 방정식의 근본이기 때문에 쉽지 않습니다.

이러한 문제를 피하려면 다음과 같은 아이덴티티를 사용해야합니다. $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$$

Answer 3

방정식의 모든 변환은 가역적이어야합니다. 와$x=0$,

$$x^2+x+1=0\leftrightarrow x+1+\frac1x=0$$ 괜찮습니다.

하지만 두 방정식을 하나로 결합 $$\begin{cases}x+1=-\dfrac1x\\x+1=-x^2\end{cases}\leftrightarrow x^2=\frac1x$$ 아니다.