베타 분포의 매개 변수

Question

여기에서 베타 분포의 음수 매개 변수에 대한 질문이 있습니다. 아래는 해당 질문에 대한 링크 입니다. 베타 분포의 음수 매개 변수

댓글이 있습니다. $A$ 매개 변수 = $\frac{m(m−2m^2+m^3−v+mv)}{(m−1)v}$ , 그리고 $B$ 매개 변수 = $\frac{m−2m^2+m^3−v+mv}{v}$

이 방정식에 도달하는 방법이나 적어도 이것에 대한 참조를 물어볼 수 있습니까? 나는 Wikipedia에서 발견 된 a 및 b 매개 변수를 설명하려고했지만 언급 된 주석과 비교하여 약간 다른 대답에 도달했습니다 (같은 대답에 도달하려면 Wikipedia의 매개 변수에 -1을 곱해야합니다).

도와 주셔서 정말 감사합니다.

Answer 1

속임수 일 수 있지만 Wolfram Alpha가 방정식 을 풀 도록 할 수 있습니다.

Wolfram Alpha에 따르면 사소한 대답은 다음과 같습니다. \begin{align*} \alpha &= \frac{m}{v}\big(-m^2 + m - v\big) \\ \beta &=\frac{1}{v}\big(m^3 - 2 m^2 + mv + m - v\big) \end{align*} 가정 $m \neq 0$, $v \neq 0$ 과 $m^3 - 2m^2 + m v + m - v\neq0$.

다음은 등거리 그리드에서 방정식이 생성하는 것입니다. $[0,1]^2$ ...에 대한 $(m,v)$:

분산 방정식은 다음과 같이 더 간결하게 작성할 수 있습니다. $$ \beta = \frac{(1-m)[m(1-m)-v]}{v} = \frac{(1-m)}{m}\alpha. $$

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우리는 어떤 조합을 물어볼 수 있습니다 $(m,v) \in [0,1]^2$베타 배포에 유효한 매개 변수로 연결됩니다. 이를 위해 우리는$\alpha$ 과 $\beta > 0$. 이 두 조건은 다음과 같은 경우에만 충족됩니다.\begin{align*} v < m(1-m) \end{align*} 이것이 필요한 유일한 조건임을 보여주는 $m \in (0,1)$.