비선형 연립 방정식 풀기 : 솔루션의 고유성 또는 다중성 표시

Aug 19 2020

이 시스템을 고려하십시오 $12$ 방정식 $$ \left\{\begin{array}{rcrclr} \alpha^{2}p_{i} & + & \left(1 - \alpha\right)^{2}\left(1 - p_{i}\right) & = & c_{i}, & \forall i =1,2,3,4 \\[1mm] \alpha\left(1 - \alpha\right)p_{i} & + & \left(1 - \alpha\right)\alpha\left(1 - p_{i}\right) & = & d_{i}, & \forall i =1,2,3,4 \\[1mm] \left(1 - \alpha\right)^{2}p_{i} & + & \alpha^{2}\left(1 - p_{i}\right) & = & e_i, & \forall i =1,2,3,4 \end{array}\right. $$ 어디

  • $\alpha \in \left[0,1\right]$

  • $p_{i} \in \left[0,1\right]$ $\forall i = 1, 2, 3, 4$

  • $c_{i}, d_{i}, e_{i}$ 실수입니다 $\forall i = 1, 2, 3, 4$.

나는이 연립 방정식이 다음과 관련하여 고유 한 해결책을 가지고 있거나 가지고 있지 않다는 것을 보여주고 싶습니다. $\alpha, p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$. 도와 주시겠습니까?.



이것이 내가 시도한 것이고 내가 쌓인 곳입니다. 허락하다 $i = 1$. 두 번째 방정식에서 우리는 $$ \alpha - \alpha^{2} = d_{1} $$ 주는 $$ \alpha_{\left(1\right)} = \frac{1 + \sqrt{1 - 4d_{1}}}{2},\quad \alpha_{\left(2\right)} = \frac{1 - \sqrt{1 - 4d_{1}}}{2} $$ 첫 번째 방정식에서 다음을 얻을 수 있습니다. $p_{1}$. 다른 방정식에서 유사하게 얻을 수 있다고 생각합니다 $p_{2}, p_{3}, p_{4}$.

시스템에 고유 한 솔루션이 없음을 보여주기에 충분합니까? 또는 다음 중 하나를 제외하는 방법이 있습니까?$\alpha_{\left(1\right)},\alpha_{\left(2\right)}$ ?.

답변

3 AlexRavsky Aug 22 2020 at 01:01

아시다시피 두 번째 네 방정식은 $\alpha-\alpha^2=d_i$. 따라서 시스템이 솔루션을 갖기 위해 필요한 조건은$0\le d=d_1=d_2=d_3=d_4\le \frac 14$. 나머지 방정식은$$p_i(2\alpha-1)=c_i-(\alpha-1)^2=\alpha^2-e_i.$$ 다음과 같습니다 $2\alpha^2-2\alpha=c_i+e_i-1=-2d_i$. 이것은 시스템이 솔루션을 갖기 위해 필요한 다른 조건입니다. 우리는 반드시 조건의 두 그룹이 모두 성립한다고 가정합니다. 이제 다음과 같은 경우가 가능합니다.

1)) $d=\tfrac 14$. 그때$\alpha=\tfrac 12$. 그때$p_i$ 시스템에 의해 결정되지 않으며 고유하지 않은 솔루션이 있습니다. $e_i=\alpha^2=\frac 14$ 각각 $i$

2)) $0\le d<\frac 14$. 그런 다음 두 가지 가능한 선택이 있습니다$\alpha_1$$\alpha_2$ ...에 대한 $\alpha$

$$p_i=\frac{\alpha^2-e_i}{2\alpha-1}=\frac{\alpha-d-e_i}{2\alpha-1}=\frac 12+\frac{1/2-d-e_i}{2\alpha-1}.$$

우리는 $p_i\in [0,1]$ iff $|1-2d-2e_i |\le |2\alpha-1|=|2\alpha_j-1|$ 각각 $i$. 이 조건이 일부에 대해 실패하면$i$이면 시스템에 솔루션이 없습니다. 그렇지 않으면 두 가지 솔루션이 있습니다.$\alpha_j$.