보다 간결한 서브 필드 정의

Aug 18 2020

저는 Saunders MacLane과 Garrett Birkhoff의 교과서 Algebra 를 읽고 있습니다 . 하위 필드는 다음과 같이 정의됩니다.

필드의 하위 집합 $F$ 은 (0이 아닌 요소의) 곱셈 단위, 빼기, 곱하기 및 곱하기 역 연산 아래에서 닫힌 경우에만 서브 필드입니다.

내 질문 :

  1. 이에서 정의 부분 환의, 즉,

반지의 서브 링 $(\mathrm{R},+, *, 0,1)$ 하위 집합입니다 $\mathrm{S}$$\mathrm{R}$ 링, 즉 링의 구조를 보존합니다. $(\mathrm{S},+, *, 0,1)$$\mathrm{S} \subseteq \mathrm{R}$. 동등하게, 둘 다의 하위 그룹입니다.$(\mathrm{R},+, 0)$ 및 서브 모노 이드 $(\mathrm{R}, *, 1)$.

나는 "동등하게, 둘 다 $(\mathrm{R},+, 0)$ 및 서브 모노 이드 $(\mathrm{R}, *, 1)$" 같이

하위 집합 $S$ 의 서브 링입니다 $R$ 경우에만 $S$ 다음의 추가 하위 그룹입니다. $(R,+,0)$$S \setminus \{0\}$ 다음의 곱셈 서브 모노 이드입니다. $(R \setminus \{0\},*,1)$.

  1. 위의 정의에서 영감을 얻었습니다. 하위 필드에 대한보다 간결한 정의를 내놓았습니다.

하위 집합 $E$ 분야의 $(F,+, *, 0,1)$ 다음과 같은 경우에만 하위 필드입니다. $E$ 다음의 추가 하위 그룹입니다. $(F,+,0)$$E \setminus \{0\}$ 다음의 곱셈 하위 그룹입니다. $(F \setminus \{0\},*,1)$.

제 이해가 정확한지 확인해 주시겠습니까? 도와 주셔서 정말 감사합니다!

답변

4 Jori Aug 18 2020 at 18:42

약간의 수정 : 두 번째 공식 (서브 필드 정의 버전)은 정확하지만 서브 링에 대한 첫 번째 공식은 일반적으로 사실이 아닙니다. $(R\setminus\{0\},*,1)$ 고리처럼 그 자체가 모노 이드 (예 : 곱셈으로 닫힘) 일 필요는 없습니다. $R$ 제수가 0이거나 $R\setminus\{0\}$ 비어있을 수 있습니다.

속담 $(R\setminus\{0\},*,1)$ 모노 이드 (즉, $(R,*,1)$) 이미 암시 $1\neq 0$$R$제수가 0이 아닙니다. 이 경우 (만),$(S,*,1)$ 서브 모노 이드 $(R,*,1)$ iff $(S\setminus\{0\},*,1)$ 서브 모노 이드 $(R\setminus\{0\},*,1)$.

2 Vincent Aug 18 2020 at 17:46

네, 둘 다 맞습니다. 이 모든 정의에서 패턴을 눈치 채 셨을 것입니다 : floop의 sub-floop$X$ 하위 집합입니다 $Y$$X$ 그것은 여전히 ​​상속받은 작업의 floop입니다. $X$.