복잡한 평면의 실제 축을 따라 중심에있는 연속 디스크 내부의 가우스 프라임 밀도

Question

연속적인 부분 집합의 집합을 정의합시다. $\mathbb{N}$: $$S_n =\{x \in \mathbb{N}\,:\,|x-n^2|\le n\}$$ 이전 정의에서 우리는 $$U_n=\bigcup_{k=1}^n S_k=\{x \in \mathbb{N}\,:\,0\le x \le n^2+n\}$$ 과 $$\pi(U_n)\sim\frac{n^2}{2\log n}$$ 동안 $$\pi(S_n)\sim\pi(U_n)-\pi(U_{n-1})\sim\frac{n}{\log n}$$ 따라서 소수의 밀도 $S_n$ 다음과 같이 지정됩니다. $$\rho_n=\frac{\pi(S_n)}{2n}\sim \frac{1}{2\log n}$$ 이제 이전의 모든 인수를 복잡한 평면으로 확장 해 보겠습니다. $$D_n =\{z \in \mathbb{C}\,:\,|z-n^2|\le n\}$$ $$V_n=\bigcup_{k=1}^n D_k$$

다음과 같이 표시하면 $\pi_G(X)$ 서브 세트 내의 가우스 소수의 수 $X$ 의 $\mathbb{C}$, 수치 조사에 따르면 $$\pi_G(V_n)\sim\frac{n^3}{3\log n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 동안 $$\pi_G(D_n)\sim\pi_G(V_n)-\pi_G(V_{n-1})\sim\frac{n^2}{\log n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 따라서 가우시안 소수의 밀도는 $D_n$ 다음과 같이 지정됩니다. $$\rho_n^G\sim\frac{\pi_G(D_n)}{\pi n^2}\sim \frac{1}{\pi \log n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$

점근 적 행동 (1), (2), (3)의 이론적 검증에 대한 제안에 감사드립니다.

Answer 1

관찰 한 내용은 Dedekind zeta 함수에 대한 Riemann 가설을 기반으로 휴리스틱으로 설명 할 수 있습니다. $\mathbb{Q}(i)$, 그리고 기대 $D_n$ 고리의 너무 특별한 부분이 아닙니다. $$A_n:=\{z\in\mathbb{C}:n^2-n\leq|z|\leq n^2+n\}.$$

실제로, Riemann 가설을 가정하면 $\zeta_{\mathbb{Q}(i)}$, 우리는 가우시안 소수의 밀도를 $A_n\cap\mathbb{Z}[i]$ 이다 $$\sim \frac{4((n^2+n)^2-(n^2-n)^2)/\log n^4}{\text{area of $A_n$}}=\frac{1}{\pi\log n}.$$ 요인 $4$ 단위 그룹의 크기입니다. $(\mathbb{Z}[i])^\times$. 아마도이 결과는 이미 입증 된 영 밀도 정리에서 따랐을 것입니다.$\zeta_{\mathbb{Q}(i)}$, 합리적 소수에 대한 유사한 결과는 Ingham의 . 어쨌든 절대 값은$z\in D_n$ 다양하다 $n^2-n$ 과 $n^2+n$, 그들은 주위에 너무 집중하지 않습니다 $n^2$, 따라서 가우스 소수의 밀도를 예상하는 것이 합리적입니다. $D_n\cap\mathbb{Z}[i]$ 점근 적으로 동일합니다. $A_n\cap\mathbb{Z}[i]$; 이것은 당신의 것입니다$(3)$기록. 진술$(1)$ 과 $(2)$ 쉽게 따라 가다 $(3)$. 증명$(3)$ Riemann 가설 하에서도 $\zeta_{\mathbb{Q}(i)}$; 그러나 다시 말하지만, 알려진 제로 밀도 정리는이 목적에 충분할 수 있습니다.