보여줘 $f’(0)$ 존재하고 1과 같습니다.

Dec 12 2020

허락하다 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$연속적입니다. 그것을 가정$f’(x)$ 모두를 위해 존재 $x \neq 0$$ \lim_{x\to\ 0} f'(x) = 1$. 보여줘$f’(0)$ 존재하고 $f’(0) = 1$

내 시도 : $$1 = \lim_{x\to0} \lim_{h\to0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = f’(0)$$

내가 한 한계 교환이 옳다고 생각하지 않습니다. 누군가가 이것을하는 방법으로 나를 도울 수 있습니까?

답변

2 gtoques Dec 12 2020 at 15:15

Martin R이 링크 한 포스트에 비슷한 내용이 있다고 생각하지만 이것은 MVT의 표준 응용 프로그램입니다. $h>0$ 고려 $\frac{f(h) - f(0)}{h}$, 그러면 평균값 정리에 의해 포인트를 찾을 수 있습니다 $a \in (0,h)$ 그런 $\frac{f(h) - f(0)}{h} = f'(a)$. 이제 가져가$h \to 0$. 무슨 일이$a$? 명심하십시오$a$ 에 달려있다 $h$.

또한,이를 가능하게하는 특정 정리 / 결과에 호소하지 않는 한 한계를 바꾸는 것은 좋은 생각이 아닙니다. 일반적으로 "쉬운"한도조차 변경할 수 없습니다.