부드러운 매니 폴드의 포함 맵
매끄러운 매니 폴드 제공 $M$ 그리고 그것은 하위 다양체입니다 $S$(예 : $M$) 포함지도가 있습니다. $i:S\to M$.
그리고 우리는 $i$ 같이 $i(x) = x$ 일반적으로.
예를 들면 $i:S^n \to \mathbb{R}^{n+1}$ 정의하기에 유효하다 $i(x) = x$ 그러나 예를 들어 포함되지 않는 것 같습니다. $i:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n+1}$ 같이 $(x_1,...,x_n) \to (x_1,...,x_n,0)$
그래서 여기에 포함에 대한 정의가 무엇인지 약간 혼란 스러웠습니다. $i(x) = x$?
이 "포함"은 기본 설정으로 토폴로지 임베딩입니까?
여기서 설명을 찾았 습니다
답변
실제로 더 깊은 미묘함이 있습니다. 하위 다양체 의 개념은 많은 혼란을 야기 할 수 있습니다. 하위 다양체가 담겨지기를 원합니까, 포함 된 하위 다양체가되기를 원합니까?
몰입 submanifold $S$ 다양한 $M$침수 아래에있는 다양한 이미지입니다. 침지 단사 유도체 원활한 맵이다.
임베딩은 위상 임베딩 , 즉 이미지에 대한 동종 성 (부분 공간 토폴로지와 관련하여)이며, 이는 또한 주입 적 몰입입니다.
참고! : 몰입은 반드시 주입 적이거나 토폴로지 임베딩이 아닙니다!
포함 맵은 항상 다음과 같이 정의됩니다. $i(x) = x$ .
우리가 전화하는 이유 $(x_1,...,x_n) \to (x_1,...,x_n,0)$ 포함 맵은 좌표 표현 아래에이 형식을 갖지만 포함 된 하위 매니 폴드의 경우 $S\subset M$. 포함은$i(x) = x$
부드러운 매니 폴드에 대해 이야기 할 때 포함 맵이 토폴로지 임베딩이라고 가정해서는 안됩니다.
만약 $S\subset M$ 매끄럽게 침지 된 서브 매니 폴드로 $S$ 부분 공간 토폴로지가 있습니다. $i$ 위상 임베딩으로