부품 공식으로 통합합니까? $\int f'g = - \int fg'$ 경계가있는 변형의 간결하게 지원되는 연속 함수에 대해 참일까요?
Aug 19 2020
그것을 가정 $f:\mathbb R \to \mathbb C$ 다음을 지원하는 경계 변동의 연속 함수입니다. $[-T,T]$. 우리는 알고 있습니다$f$거의 모든 곳에서 차별화 할 수 있습니다. 또한$g \in C^\infty(\mathbb R)$바운드됩니다. 부품 공식으로 통합합니까$$ \int f'(x)g(x) \,dx = -\int f(x)g'(x) \, dx $$ 사실입니까?
답변
4 Rigel Aug 19 2020 at 09:57
허락하다 $T > 1$ 그리고하자 $f = \chi_{[0,1]}$ 특징적인 기능 $[0,1]$. 그때$$ \int_{-T}^T f g' = \int_0^1 g' = g(1) - g(0). $$ 반면에 $f' = 0$ ae, $$ \int_{-T}^T f' g = 0. $$
우리가 이해한다면 $f'$ 측정 값 미분 $Df$ BV 함수의 $Df = \delta_0 - \delta_{-1}$, 및 $$ \int_{-T}^T g\, Df = g(0) - g(1), $$ 일치하는 $-\int_{-T}^T f g'$.