변형중인 Ergodicity

Question

가정 $\Omega := [0,1]^{\mathbb Z}$ 제품 토폴로지가 장착되고 Borel이 부여됩니다. $\sigma$-대수학 $\mathcal B(\Omega)$ 그리고 확률 측정이 있습니다 $\mathbb P$ 의 위에 $(\Omega,\mathcal B(\Omega))$ 그런 변화 $T:\Omega \to \Omega$, $$T(\omega)(k) := \omega(k+1),\quad \omega\in\Omega,k\in \mathbb Z$$ 측정 보존, 즉 $\mathbb P = \mathbb P \circ T^{-1}$ 의 위에 $\mathcal B(\Omega)$, 그리고 에르 고딕, 즉 $A=T^{-1}(A)$ 암시 $\mathbb P (A)\in\{0,1\}$ 어떠한 것도 $A\in\mathcal B(\Omega)$. 이제$f:[0,1]^3\to[0,1]$ 측정 가능한 기능 및 $U:\Omega \to \Omega$ 에 의해 정의 된 변환 $$ U(\omega)(k) := f(\omega(2k-1),\omega(2k),\omega(2k+1)),\quad \omega\in\Omega,k\in\mathbb Z.$$ 확률 측정을 고려합니다. $\widetilde {\mathbb P}:= \mathbb P\circ U^{-1}$ 어디 $U^{-1}$ 사전 이미지를 나타냅니다.

그런 다음 $T\circ U= U\circ T^2$, 그것은 보유 $(\Omega,\mathcal B(\Omega), \widetilde {\mathbb P},T)$여전히 측정을 보존하는 동적 시스템입니다. 또한 에르 고딕인가요?

편집 : 확률 측정의 예는 무엇입니까$\mathbb P$ 의 위에 $\mathcal B(\Omega)$ 및 세트 $A\in\mathcal B(\Omega)$ 그런 $T^{-2}(A)=A$ 그러나 $\mathbb P(A)\notin \{0,1\}$ (따라서 반드시 $T^{-1}(A)\neq A$)?

Answer 1

대답은 부정적입니다. Let \begin{align*} \mathbb P &:= \frac 1 2 \left(\delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} + \delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z+1}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} \right), \\ A &:= \left\lbrace (1)_{k\in\mathbb Z} \right\rbrace ,\\ f(x,y,z) &:= y. \end{align*}

확률 $\mathbb P$ 상태 공간에서 환원 불가능한 마르코프 체인에 해당 $\{0,1\}$ 전환 매트릭스 포함 $P = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1& 0\end{pmatrix}$ 고유 한 고정 분포가있는 $(\frac 1 2 \,\,\, \frac 1 2)$. 이 math.SE 질문 에 대한 답에 비추어 볼 때 동적 시스템$(\Omega,\mathcal B(\Omega),\mathbb P, T)$측정 보존 및 에르 고딕 (혼합 아님)입니다. 지금,$T^{-1}(A)=A$ 그러나 $$U^{-1}(A) = \prod_{k\in \mathbb Z} \begin{cases} \{1\},&\quad k\in 2 \mathbb Z \\ [0,1],&\quad k\in 2\mathbb Z+1\end{cases}, $$ 어떻게 $\widetilde{\mathbb P}(A) = \frac 1 2 $.