처짐으로 계산 된 비틀림 및 굽힘 응력

Question

내가 한 계산을 확인하려면 도움이 필요합니다. 이 방법을 사용할 수 있는지 또는 잘못된 가정을 사용하고 있는지 알고 싶습니다. 길이가있는 빔 문제를 설명하겠습니다.$l$한쪽 끝에 고정되어 있습니다. 힘$F$ 잠시 $M_v$빔 끝에 적용됩니다 (아래 그림 참조). 빔에는 원형 단면이 있습니다. 힘으로 인해 빔의 끝이 길이를 변형시킵니다.$\delta$. 처짐과 ​​길이 및 지름과 같은 기하학적 매개 변수 만 알려져 있습니다.

사용 오일러 - 베르누이 이론 빔 편향은 다음과 같이 표현 될 수 :

$$\delta = \frac{Fl^3}{6EI} \tag{1}$$

어디 $E$ 재료의 영률이고 $I$ 관성, 즉 $I=\frac{\pi d^4}{64}$원형 단면의 경우. 여기$d$ 빔의 직경입니다.

(1)에 관성을 삽입하고 다음 식으로 재정렬 $F$ 제공합니다 :

$$F = \frac{3 \delta \pi d^4 E}{32l^3} \tag{2}$$

단면에서 최대 굽힘 응력에 대한 일반 공식에 삽입 할 수 있습니다.

$$\sigma_{max}= \frac{Fl}{\frac{\pi d^3}{32}} = \frac{32Fl}{\pi d^3} \tag{3}$$

여기서 원형 단면에 대한 굽힘 저항이 공식에 모두 삽입되었으며 굽힘 모멘트가 최대 모멘트로 대체되었습니다. $Fl$.

이 부분은 확실하지 않은 부분입니다. (2)의 힘을 사용하여 (3)에 삽입하여 최대 응력을 얻습니다. 이것이 가능한지 또는 내가 오류를 범하고 있는지 알려주십시오.

또한 전단 응력은 다음에서 계산할 수 있습니다. $\tau = \dfrac{M_v}{W_v}$ 어디 $W_v = \dfrac{\pi d^3}{16}$, 이는 재료의 비틀림 저항입니다. 그런 다음 von Mises 항복 기준 을 사용 하여 재료의 최대 응력을 추정합니다.

$$\sigma_{von\ Mises} = \sqrt{\sigma^2+3\tau^2}$$

이전에 질문했듯이, 이것이이 문제를 해결하기위한 가능한 방법인지 또는 잘못된 방법 / 가정을 사용하고 있는지 주로 관심이 있습니다.

Answer 1

일반적으로 당신이하는 일은 괜찮습니다. (굽힘 또는 비틀림을 통해) 충분히 작은 처짐이 있다고 가정하면 문제를 독립적으로 해결할 수 있습니다. 즉 :

• 수행 한 것과 똑같이 굽힘을 얻기 위해 필요한 힘을 계산합니다. $$F = \frac{3 \delta \pi d^4 E}{32l^3}$$
• 전단 응력의 크기를 계산합니다.

주의 사항

그러나 그 시점부터 몇 가지주의 사항이 있습니다. 에 관해서:

a) 굽힘 : 계산중인 수직 응력의 최대 크기는 빔의 상단과 하단에 있습니다. 중립 축의 모든 점은 크기가 0이어야합니다.

b) 비틀림 전단 : 거리에서의 크기$\frac d 2$일정하지만 방향이 바뀝니다. 다음 이미지를 참조하십시오.

1 .

최대 비틀림 응력의 자질은 다음과 같습니다.

$$\tau_t = \frac{M_u}{\frac{\pi d^3}{16}}$$

c) 전단 : 일반적으로 폐기되지만 다음과 관련된 전단 응력도 있습니다.$$\tau_s = \frac{F}{\frac{\pi d^2}{4}}$$. 일반적으로 이것은 매우 작지만 일정한 방향 (이 경우 아래쪽으로)도 있습니다.

당신이 취해야 할 요점은 벡터로 추가해야한다는 것입니다. $\tau_s$ 과 $\tau_t$. 따라서 재료의 다른 지점에서 다른 값을 갖게됩니다. 이미지 1 과 점 A, B, C, D를 시계 반대 방향으로 취하면 결과 전단 응력은 다음과 같습니다.

• 가장 오른쪽 지점 (지점 A (+ x, y = 0)은 $$\tau_{A, res} = \tau_s - \tau_t$$.
• 가장 높은 지점에서 (지점 B (x = 0, + y)는 $$\tau_{B, res} = \sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$$.
• 가장 왼쪽 지점에서 (지점 C (-x, y = 0)은 $$\tau_{C, res} = \tau_s + \tau_t$$.
• 최하단 지점 (Point D (x = 0, + y)은 $$\tau_{D, res} = \sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$$.

최대 스트레스

그래서 중요한 것은 폰 미제스의 방정식에 관한 것입니다. 어떤 값을 연결합니까?$\sigma$ 과 $\tau$.

각 지점을 살펴보고 해당하는 스트레스를 적용해야합니다.

• 포인트 A, 사용 $\sigma_{A} = 0$ 과 $\tau_{A, res} = \tau_s - \tau_t$
• 지점 B (및 D), 사용 $\sigma_{B} = \frac{32Fl}{\pi d^3}$ 과 $\tau_{, res} =\sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$
• 포인트 C, 사용 $\sigma_{A} = 0$ 과 $\tau_{A, res} = \tau_s + \tau_t$

불행히도 이것들 만 확인해야하는 것은 아닙니다. 예를 들어, 최소한$\pm 135$ 도 (이미지의 구적면에서 $\tau_s $ 과 $\tau_t$서로 취소하지 마십시오). 그러나 그것이 아이디어입니다.