최대 값 찾기 $x^2y$ 주어진 제약
최대 값 찾기 $${ x }^{ 2 }y$$ 제약에 따라 $$x+y+\sqrt { 2{ x }^{ 2 }+2xy+3{ y }^{ 2 } } =k$$여기서 k는 상수입니다. x의 값을 대체하고 wrt를 미분하여 시도했습니다.$x$ 더 이상 진행할 수 없습니다.
답변
허락하다 $y=a x$ 그리고 제약에서 (가정 $x>0$ $$x=\frac{k}{\sqrt{3 a^2+2 a+2}+a+1}\qquad y=\frac{ak}{\sqrt{3 a^2+2 a+2}+a+1}$$ $$x^2y=\frac{a k^3}{\left(\sqrt{3 a^2+2 a+2}+a+1\right)^3}$$ 에 대한 차별화 $a$ 얻기 위해 $$-\frac{(2 a-1) \left(3 a+2+\sqrt{a (3 a+2)+2}\right) k^3}{\sqrt{a (3 a+2)+2} \left(a+\sqrt{a (3 a+2)+2}+1\right)^4}=0$$
그래서 $a=\frac 12$ 줄 것이다 $$x^2 y=\frac{4 k^3}{\left(3+\sqrt{15}\right)^3}$$ 또는 $a=-\frac{1}{6} \left(5+\sqrt{13}\right)$ 줄 것이다 $$x^2y=\frac{1}{54} \left(35-13 \sqrt{13}\right) k^3$$
힌트:
편의상 원래 제약 조건을 2 차 형식으로 바꾸십시오.
$$2x^2+2xy+3y^2-(k-x-y)^2=0$$
또는
$$x^2+2kx+2y^2+2ky-k^2=0.$$
따라서 라그랑주 승수로 추론 된 방정식은 다음과 같습니다.
$$\begin{cases}2xy=\lambda(2x+2k),\\x^2=\lambda(4y+2k).\end{cases}$$
제거함으로써
$$2x^2+2kx-8y^2-4ky=0$$ 두 개의 원뿔을 교차해야합니다.
$$g(x,y)=x+y+\sqrt { 2{ x }^{ 2 }+2xy+3{ y }^{ 2 } }= x+y + Q(x,y) = k \tag1$$
객체 기능
$$f(x,y)=x^2y $$
라그랑주 승수 방법
$$\dfrac{g_x}{g_y}= \dfrac{f_x}{f_y} $$
$$\dfrac{2y}{x}=1+\dfrac{(4x+2y)}{2Q}=1+\dfrac{(2x+6y)}{2Q}$$ 단순화
$$Q(2y-x)= 2x^2-xy-6y^2$$
공통 요소가있다 $ (2y-x)$ 취소하다
$$=(x-2y)(2x+3y)\rightarrow Q=(2x+3y)$$ 제곱 $$ Q^2=4x^2+12 x y+9y^2=2x^2+10 xy+6y^2$$
2 차 근을 찾기 위해 단순화 $$x^2+5 x y+3 y^2=0;\quad \dfrac{y}{x}=\dfrac{-5\pm \sqrt{13}}{6}; $$
한 쌍의 직선입니다.
만약 $(p,q)$ 이 뿌리가 말하는가 $ y=px,\;y=qx\;$ 두 뿌리 중 첫 번째 뿌리를 (1)에 꽂습니다.
$$ k = x( 1+p+ \sqrt{2+2p+3p^2}) =C x\;$$ 즉, 최대 값은
$$x^2y=x^3\cdot\dfrac{y}{x}=p k^3/C^3=\dfrac{pk^3}{( 1+p+ \sqrt{2+2p+3p^2})^3}$$
어디
$$p=\dfrac{\sqrt{13}-5}{6}$$
최소값은 다음에서 찾을 수 있습니다. $y=qx$ 비슷한 방식으로.
Lagrange 승수 방법으로 진행할 수 있습니다. 자세한 내용은 다음에서 찾을 수 있습니다.
- https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multiplier,
- 또는 여러 예제를 포함하는 다음 링크에서 https://math.berkeley.edu/~scanlon/m16bs04/ln/16b2lec3.pdf.
이제 우리는 기능을 극대화하는 것을 목표로합니다. $f(x,y) = x^2 y$ 제약에 따라 $g(x,y) = 0 $ 어디 $$g(x,y) = x + y + \sqrt{2x^2 + 2xy + 3y^2} - k $$ 일정한 $k \in \mathbb{R}$. 위 형식의 제약 조건은 단순히 제곱 하여 단순화 할 수 있습니다 (제곱근 제거와 같이) . 이제 대신 함수를 고려하십시오.$$h(x,y) = x^2 + 2y^2 + 2k(x+y) - k^2.$$ 그러면 위의 문제는 최대화하는 것과 같습니다. $f(x,y)$ 제약과 관련하여 $h(x,y) = 0$.
환경 $$L(x,y,\lambda) := f(x,y) + \lambda g(x,y),$$ 연립 방정식 풀기 $$\frac{\partial L}{\partial x}(x,y,\lambda) = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial y}(x,y,\lambda) = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial \lambda}(x,y,\lambda) = 0$$ 필요한 솔루션을 얻을 수 있습니다.
여기서 가져올 수 있습니까?