최대 가치 $\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)$?
그래서 교과서에서 질문을 발견했습니다.
삼각형 ABC에서 $A$,$B$,$C$ 각도를 나타내는 다음 최대 값을 찾으십시오. $\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)$?
그래서 나는 이미이 질문에 내 피와 땀과 눈물을 쏟고 최선을 다했습니다. 그러나 더 이상 해결할 수 없습니다!
내 접근 방식은 다음과 같습니다. $\sin(C)+\sin(D)$ 과 $A+B+C= \pi$;
- $2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+\cos(\frac{A+B}{2})$ 이제 사용 $\cos(2A)$ 공식 즉, $1-2\sin^2(A) $
- $2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+1-2\sin^2(\frac{A+B}{4})$
- 그래서 2 차 변수를 얻었습니다. $\sin(\frac{A+B}{4})$
- $-2\sin^2(\frac{A+B}{4})+2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+1$
하지만 그 후에 무엇을 해야할지 모르겠어요
이 방법을 사용하여이 질문을 해결할 수 있습니까 아니면 다른 접근 방식을 사용해야합니다!
BTW, 답은 3/2
편집 : 저는 방금 고등학교를 마치고 IIT-JEE 입시 준비를 마쳤으므로이 문제를 풀기 위해 어려운 용어를 사용하지 마십시오.
이 솔루션은 선생님이 보낸 것입니다. 적어도이 솔루션을 이해하게 해주세요 [https://i.stack.imgur.com/51pCB.png]
답변
당신이 멈춘 곳은 $$z=-2\sin^2x+1+2\sin x\cos y$$
$$\iff2\sin^2x-2\sin x\cos y+z-1=0$$
같이 $\sin x$ 진짜, 판별자는 $\ge0$
$\implies8(z-1)\le(-2\cos y)^2\le2^2$
$\implies8z\le4+8$
평등은 다음과 같은 경우 발생합니다. $\cos^2y=1\iff\sin y=0$
결과적으로 $\sin x=\mp\dfrac{\cos y}2=\mp\dfrac12$
이후 $\sin x$인 오목 급성에$x$, Jensen의 부등식에 의해 최대 값은$A/2=B/2=C/2=\pi/6$, 같이 $3\sin\pi/6=3/2$.
편집 : OP가 차별을 알고 있다는 @ B.Goddard의 답변에 대한 의견에서 언급했기 때문에 등변 사례가 최대를 달성한다는 또 다른 증거가 있습니다.
계속 사용 $\frac{C}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}$. 구제하다$\sin\frac{A}{2}+\sin\frac{B}{2}+\cos\frac{A+B}{2}$ 동시에 해결$$\tfrac12\cos\tfrac{A}{2}-\tfrac12\cos\tfrac{C}{2}=0,\,\tfrac12\cos\tfrac{B}{2}-\tfrac12\cos\tfrac{C}{2}=0$$즉. $A=B=C$. 2 차 도함수를 고려하여 최대인지 확인하기 위해 독자를 남겨 둘 것입니다.
라그랑주 승수로 할 수 있습니다. 최대화$f=\sin x/2 + \sin y/2+\sin z/2$ 제약하에 $g=x+y+z = \pi$.
그때
$$\nabla f = \langle \cos(x/2)/2, \cos(y/2)/2, \cos(z/2)/2 \rangle =\lambda\langle 1,1,1 \rangle = \nabla g.$$
이것은 $x=y=z$ 최대 삼각형은 등변입니다.
삼각형 ABC에서 $A+B+C=\pi$ $$f(x)=\sin(x/2) \implies f''(x)=-\frac{1}{4}\sin(x/2)<0, x\in[0,2\pi].$$ 따라서 Jemsen의 불평등으로 $$\frac{f(A/2)+f(B/2)+f(C/2)}{3} \le f(\frac{A+B+C}{6}).$$ $$\implies \frac{\sin (A/2)+\sin(B/2)+\sin{C/2}}{3} \le \sin\frac{\pi}{6}.$$ $$\implies \sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2) \le \frac{3}{2}$$