초월 적 요소에 의한 필드 확장 정도

Question

허락하다 $F$ 필드가되고, $F(x)$ 다항식 링의 분수 필드 $F[x]$. 필드 확장 정도에 관심이 있습니다.$[F(x) : F]$. 분명히 그것은 무한하지만 그 카디널리티는 정확히 무엇입니까? 그것은$\aleph_0$? 분야에 따라 다름$F$?

Answer 1

자연적인 $F$-의 기초 $F(x)$ 이다 $$\{ x^k, k\ge 0\} \cup \{ x^l/h^m, m\ge 1,l<\deg(h), h \in F[x]\text{ monic irreducible}\}$$ 따라서 ( $F$ 무한) 기저의 카디널리티는 $F$ 과 $F[x]^2$, 즉. 그것은$F$.

Answer 2

무한 필드 용 $F$, $F[x] = \oplus_{n \geq 0} F (x^n)$ 카디널리티가 동일합니다. $F$, 그리고 surjective 매핑이 있습니다. $F[x] \times (F[x])^* \rightarrow F(x)$ 주어진 $(p(x), q(x)) \mapsto \frac{p(x)}{q(x)}$ (어디 $(F[x])^* = F[x] \setminus \{ 0 \}$). 이후$F[x] \times (F[x])^*$ 카디널리티가 동일합니다. $F[x]$, 결과는 다음과 같습니다.

만약 $F$ 유한하다 $F[x]$ 셀 수없이 무한하며 위와 같은 논리로 $F(x)$ 셀 수없이 무한합니다.