다항식 링을 정의하는 이유 $R[x] := R^{(\mathbb N)}$기능의 하위 집합이 아니라? [복제]
선형 대수학에서는 다항식 고리를 일련의 집합으로 정의한 다음 집합을 고리로 만드는 덧셈과 곱셈을 정의합니다. 일부 동형이 있으면 다항식 집합의 직관적 인 상상에 해당하는 구조에 도달합니다.
하지만 왜 정의하지 않는 $R[x]$ 특정 속성을 가진 함수의 하위 집합 (예 : 정의 $1$ 다항식이고 재귀 적으로 $f, g$ 다항식이고 $\alpha f$ ($\alpha \in R$) 및 $f + g$, $f \cdot g$다항식). 시리즈를 다항식으로 해석하고 시리즈에 대한 덧셈과 곱셈을 명시 적으로 정의해야하는 새로운 구조를 만드는 이유는 무엇입니까? 함수의 개념을 사용하지 않고 그렇게한다는 의미는 어디입니까?
답변
이것은 다른 다항식이 동일한 기능으로 이어질 수 있기 때문입니다.
예를 들어 유한 링을 사용하십시오. 분명히 유한 고리에는 하나의 변수에 유한하게 많은 함수가 있습니다 (더 정확하게는 고리에$n$ 요소, 그러면 정확히 $n^n$다른 기능). 하지만 무한히 많은 다항식이 있습니다.$n\in\mathbb N$, $x^n$ 다른 다항식입니다. $x^m, m\ne n$).
더욱이, 동일한 다항식은 다른 다항식 함수로 이어질 수 있습니다. 예를 들어, 실수에 대한 다항식을 취하십시오. 그런 다음 실제 대수에 대해$A$, 다항식은 함수로 이어집니다. $f:A\to A$ 변수를 다음 인스턴스로 대체하여 얻은 $A$. 분명히 그것은 기능만으로는 쉽게 달성 할 수없는 것입니다.$f:\mathbb R\to\mathbb R$.
이것이 중요한 이유 중 하나는 계수가 다르지만 동일한 함수에 해당하는 다항식을 구별 할 수 있기를 원하기 때문입니다. 이것은 유한 필드의 맥락에서 나타납니다. 예를 들어, 다항식을 구별하는 것이 유용합니다.$p(x) = x$ 과 $q(x) = x^3$,이 두 다항식이 동일한 기능을 나타내더라도 $\Bbb F_2$.
다항식을 연구하는 동기 외에는 다항식이 "영역에 구애받지 않는"것이 중요합니다. 링의 계수가있는 다항식을 생각하고 있지만$R$, 관련 기능이 반드시 다음 요소를 취하는 것은 아닙니다. $R$입력으로. 특히, 동일한 다항식이 함수 만 설명하는 것이 아니라$R$,뿐만 아니라 링 확장에 대한 함수 $\bar R$, 또는 심지어 함수를 통해 $R$-대수학 $A$.
선형 대수의 예 : 주어진 행렬 $M \in \Bbb F^{n \times n}$ 및 다항식 $p \in \Bbb F[x]$, 응용 프로그램에 대해 이야기 할 수 있으면 매우 유용합니다. $p(M)$. 그러나 다항식을 정의역이있는 함수로 정의한다면 이것은 말도 안되는 일입니다.$\Bbb F$.
이 게시물에서는 단위가있는 교환 고리의 영역에서 살 것입니다.
반지가 있다고 가정 해 봅시다. $R$. 순진하게, 계수가있는 다항식$R$무언가를 취하는 것입니다 (보통$x$)를 입력하고 그 대가로 무언가 를 제공합니다 . 일반적으로이 뭔가 의 요소이다$R$ 그리고 당신은 $R$ 그 대가로 다항식이 어떤 집합의 요소를 가져와이 같은 집합의 요소로 바꿀 수 있도록 말하지 않고 그대로 두는 것이 편리하다는 것이 밝혀졌습니다.
그러나 다항식에는 합과 곱이 포함되므로 다항식의 "도메인"은 집합이 될 수 없습니다. 링이어야합니다. 또한 다항식의 계수는 다음의 요소입니다.$R$, 따라서 "도메인"은 어떤 고리도 될 수 없습니다. 또한 다음의 요소를 곱하는 것이 의미가있는 고리 여야합니다. $R$. 엄밀히 말하면 반지가 있다면$S$, 요소에 의한 곱셈의 아이디어 $R$ 고리 동형의 형태로 인코딩됩니다 $\phi:R\to S$. 그런 다음$r\in R$ 과 $s\in S$ 우리는 제품을 정의 할 수 있습니다 $rs$ 같이 $rs=\phi(r)s$. 그런 쌍$(S,\phi)$ 라고 $R$-대수학.
마지막으로, 우리는 다항식 을 평가 하기 전에도 다항식에 대한 연산을 수행 할 수 있기를 원합니다.$R$. 이것은 우리의 다항식 세트가 링이어야하고$R$-대수도 마찬가지입니다. 또한 모든 요소에 대해$s\in S$ 및 모든 다항식 $p,q$, 우리는 $(p+q)(s)=p(s)+q(s)$ 과 $(pq)(s)=p(s)q(s)$: 즉, 우리는 평가를 원합니다 $p\mapsto p(s)$ 존중하는 고리 동형이 될 $R$-곱셈. 따라서 우리는 정의에 대한 다음과 같은 아이디어를 얻습니다.
주어진 반지 $R$, 우리는 갖고 싶어하고 $R$- 다항식 고리 라고하는 대수 $R[x]$ 다음 속성을 충족합니다. $R$-대수학 $S$ (이것은 "의 요소에 의한 곱셈 $R$ 의미가 있습니다. ") 및 모든 요소 $s\in S$, 평가 맵이 있습니다. $\operatorname{ev}_s:R[x]\to S$ 링 동형은 $R$-다항식과 같은 곱셈 $x\in R[x]$ 매핑됩니다 $s\in S$. 또한 평가 동형은 고유해야합니다.
일반적인 정의는 $R[x]$일부 공식적인 합계 및 제품이이 정의를 충족하므로; 더 :이$R[x]$ 고유 한 것입니다 (적절한 의미에서) $R$-정의를 만족하는 대수.
좀 더 추상적으로 생각하는 사람들을 위해이 게시물은 $R$-대수학 $S$ 일대일 서신이 있습니다
$$\left\{\text{elements of $에스$}\right\} \leftrightarrow \left\{ \overset{ \displaystyle\text{ring homomorphisms} } { \underset{\textstyle\text{respecting $아르 자형$-multiplication}} {R[x]\to S} } \right\}$$
범주화 전문가의 경우 결론은 다항식 고리가 $R$ 자유 교환 $R$-하나의 요소 집합에 대한 대수.