단일 제수의 부울 링 / 단일 제수의 구조?

Aug 21 2020

이 질문이 MO에 적합하기를 바랍니다.

허락하다$n$자연수가 되고,$U_n := \{ d | d \text{ divides } n, \gcd(d,n/d)=1\}$단위약수의 집합이 된다.

우리는 만들 수 있습니다$U_n$부울 링으로:

$$a \oplus b := \frac{ab}{\gcd(a,b)^2} = \frac{\operatorname{lcm}(a,b)}{\gcd(a,b)}$$그리고$$a \otimes b := \gcd(a,b)$$

허락하다$\Pi(n) := \{ p | p \text{ is prime}, p| n\}$의 소수의 집합이 되다$n$. 열린 집합이 있는 이 집합에 대한 토폴로지를 정의할 수 있습니다.

$$ \{ \Pi(d) | d \text{ divides } n \}$$

그 다음에$$\Pi(\operatorname{rad}(ab)) = \Pi(a) \cup \Pi(b)$$그리고$$\Pi(\gcd(a,b)) = \Pi(a) \cap \Pi(b)$$

어디$\operatorname{rad}(x) = \prod_{p|x}p$의 급진적$x$.

각 오픈 세트에$U$우리는 숫자를 정의

$$\operatorname{rad}(U):= \prod_{p \in U}p$$

열린 세트는 다음을 사용하여 부울 링도 빌드합니다.

$$U \oplus V := U \Delta V$$어디$\Delta$대칭 차이를 나타내고,$$U \otimes V := U \cap V$$

그 다음에$\operatorname{rad}$는 부울 링의 동형입니다.

$$\operatorname{rad}(U \oplus V) = \operatorname{rad}(U) \oplus \operatorname{rad}(V)$$ $$\operatorname{rad}(U \otimes V) = \operatorname{rad}(U) \otimes \operatorname{rad}(V)$$또한$\operatorname{rad}(\emptyset) = 1$, 어디$1$는 0입니다$U_{\operatorname{rad}(n)}$그리고$\operatorname{rad}(\Pi(n)) = \operatorname{rad}(n)$, 어디$\operatorname{rad}(n)$에 있는 것입니다$U_{\operatorname{rad}(n)}$.

또한, 이후$k(a,b) = \frac{\gcd(a,b)^2}{ab} = \frac{1}{a\oplus b}$자연수와 유사성에 대한 양의 정부호 함수이므로 이 부울 링을 포함할 수 있습니다.$U_n$유클리드 공간에서 등각 투영$\mathbb{R}^{2^{\omega(n)}}$(중심이 있는 반지름 1의 구에서$0$) 어디$\omega(n)$의 고유한 소수를 계산합니다.$n$두 개의 단일 제수 사이의 거리를 정의할 수 있습니다.

$$ d(a,b) = \sqrt{k(a,a)+k(b,b)-2k(a,b)} = \sqrt{2(1-\frac{1}{a\oplus b})}$$

또한 모두를 위해$a,b,c \in U_n$우리는:

$$k(c\oplus a , c \oplus b ) = k(a,b)$$

내 (부드러운) 질문은 다음과 같습니다.

이것은 아마도 정수론에 아무 소용이 있습니까? :) 당신의 도움을 주셔서 감사합니다.

답변

mathoverflowUser Mar 23 2022 at 18:29

댓글이 너무 길어서 2년만에 답글을 씁니다. :-) 마지막으로 유용한 것이 있습니다.

아이디어: 정수 합성 <-> 유한 집합의 부분 집합 <-> 단일 제수의 부울 고리

정수 합성:https://en.wikipedia.org/wiki/Composition_(combinatorics)

사게매스:https://doc.sagemath.org/html/en/reference/combinat/sage/combinat/composition.html

정수 구성은 마디의 지속 시간을 조작하기 위한 알고리즘 구성/음악에 유용할 수 있습니다.

(예: 위의 커널을 사용하여 지속 시간(/정수 합성) 관점에서 두 막대가 얼마나 멀리/가까운지 가장 가까운 이웃으로 측정할 수 있습니다.)

알고리즘 구성:

모든 막대는 막대의 지속 시간과 연관되어 정수의 구성입니다.

예를 들어:

 Durations of bar:                1/4,1/4,1/8,1/8,1/4 

 composition of the integer n=8:   2,   2,  1 , 1 , 2 ( 2+2+1+1+2  = 8)                

 subset of {1,2,..,n-1} :         {2,4,5,6}

 unitary divisors of P_{n-1} = 2*3*...*p_{n-1}:     3*7*11*13 = 3003

이러한 특징 벡터의 직접 임베딩을 계산해야 하는 경우(비용이 많이 드는 Cholesky 분해를 계산할 필요 없이) 다음은 수행 방법의 예입니다.

허락하다$e_d$이다$d$힐베르트 공간의 -th 표준 기반 벡터$H=l_2(\mathbb{N})$. 허락하다$h(n) = J_2(n)$두 번째 Jordan totient 함수가 됩니다. 정의하다: