단순화 $\sum_{k = 0}^n \left[ \binom{m + n + k}{k} 2^{n + 1 - k} - \binom{m + n + k + 1}{k} 2^{n - k} \right]$.

Question

이것은 Amann과 Escher 의 분석 I 44 페이지에있는 연습 6입니다 .

운동:

합계를 단순화

\begin{align*} S(m, n) := \sum_{k = 0}^n \left[ \binom{m + n + k}{k} 2^{n + 1 - k} - \binom{m + n + k + 1}{k} 2^{n - k} \right] \end{align*}

...에 대한 $m, n \in \mathbb N$.

힌트 : $1 \leq j < \ell$ 우리는 $\binom{\ell}{j} - \binom{\ell}{j - 1} = \binom{\ell + 1}{j} - 2\binom{\ell}{j - 1}$.

내 시도 :

불행히도 힌트를 사용하는 방법을 이해하지 못합니다. 나는 그것이 합계의 표현과 어떻게 일치하는지 보지 못합니다.

\begin{align*} \sum_{k = 0}^n \Bigg[ \binom{m + n + k}{k} 2^{n + 1 - k} - \binom{m + n + k + 1}{k} 2^{n - k} \Bigg] &= \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} 2 - \binom{m + n + k + 1}{k} \Big] \Bigg]\\ &= \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} + \binom{m + n + k}{k} - \binom{m + n + k + 1}{k} \Big] \Bigg]\\ &= \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} - \binom{m + n + k}{k - 1} \Big] \Bigg] \text{ (Pascal)}. \end{align*}

이 시점에서 나는 붙어 있습니다. 특히 힌트를 사용하지 않았기 때문에 이것이 막 다른 골목인지 확실하지 않습니다. 도움을 주셔서 감사합니다.

Answer 1

로 시작 $$ \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} - \binom{m + n + k}{k - 1} \Big] \Bigg], $$ 힌트를 사용하여 $\ell=m+n+k$ 과 $j=k$, 우리는 $$ \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m+n+k+1}{k} - 2\binom{m+n+k}{k - 1} \Big] \Bigg]=\sum_{k = 0}^n\left(2^{n-k}\binom{m+n+k+1}{k}-2^{n-k+1}\binom{m+n+k}{k - 1}\right). $$이것은 텔레 스코핑 합계이므로 쉽게 평가할 수 있습니다. 즉,$$ a_k=2^{n-k}\binom{m+n+k+1}{k}, $$ 문제의 합계는 다음과 같습니다. $$ \sum_{k=0}^n (a_k-a_{k-1}), $$ 어느 망원경으로 $a_n-a_{-1}$.