DFT의 인덱싱 (오래된 논문에서)
고속 푸리에 변환에 대한 IEEE A 가이드 투어에 1960 년대의 DFT를 설명하는 좋은 문서가 있습니다 . 저자는 다음과 같은 DFT 정의를 사용합니다.
DFT $$ X(j)=\sum_{k=0}^{N-1} x(k) \exp \left(-i 2 \pi\left(\frac{j}{N}\right) k\right) $$
역 $$ x(k)=\frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1} X(j) \exp \left(i 2 \pi\left(\frac{j}{N}\right) k\right) $$
여기서 인덱스 j = 0, 1, 2, ..., N-1 및 유사하게 k = 0, 1, 2, ..., N-1.
이제 저자는 j 및 k 인덱스가 N-1이 아닌 0에서 N까지 실행되는 그림을 보여줍니다 . 10 개의 데이터 포인트가 있다고 가정 해 보겠습니다. 따라서 N = 10입니다. 그리고 j 와 k 는 10이 아닌 0에서 9까지 실행되어야합니다. 이것은 그림의 오타입니까?
그의 N 도 0에서 시작 하는 것으로 보이며 수치는 일관되지만 합계 공식에는 N-1이 있습니다.
답변
수치가 정확합니다. 인덱스에 샘플이 있음을 알 수 있습니다.$0,1,\ldots,N-1$. 색인에 표시된 샘플이 없습니다.$N$, 시간 도메인이나 주파수 도메인에서. 가치$N$ 주파수 영역에서는 샘플링 주파수에 해당하고 시간 영역에서는 다음과 같이 표시되는 연속 시간 신호의 끝에 해당하므로 가로축에만 표시됩니다. $N$ 샘플 (각 샘플이 길이의 일부를 나타낸다고 가정하면 $\Delta T$).
불연속 시간 시퀀스의 실제 기간 정의에 대한 자세한 설명은 이 질문에 대한 답변을 참조 하십시오 .