Dirac 필드 : 입자 및 반입자 생성 연산자가 진공 상태에서 다르게 작동합니까?
Dirac 필드가 주어지면 $$\Psi(x):=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\delta\left(p_0-\omega(\mathbf{k})\right)\sum_s\left(a_s(k)u_s(k)e^{-ikx}+b^\dagger_s(k)v_s(k)e^{ikx}\right)$$ 생성 연산자와 함께 $a^\dagger_s(k),b^\dagger_s(k)$ 입자와 반입자에 대해 각각 이러한 연산자는 진공 상태에서 어떻게 작용합니까?
특히 $|k\rangle=a^\dagger_s(k)|0\rangle=b^\dagger_s(k)|0\rangle$?
답변
아 이제 나는 당신의 질문을 이해했다고 생각하며 이것은 간단한 표기법 문제라고 생각합니다. 입자와 반입자에 대한 단일 입자 상태는 다르게 표시되어야합니다. 즉, 표기법에 가깝게 만들려고하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
$$|k,s\rangle \equiv a^\dagger_s(k)|0\rangle \ \ \ \ , \ \ \ \ |\tilde{k},\tilde{s}\rangle \equiv b^\dagger_s(k)|0\rangle \ .$$그리고 모든 일반적인 정류 관계는 동일합니다. 아마도 더 많은 표준 표기법은$|1_{k}\rangle \equiv a^\dagger_s(k)|0\rangle$ 과 $|\bar{1}_{k}\rangle \equiv b^\dagger_s(k)|0\rangle $, 그러나 가장 일반적인 것이 무엇인지 완전히 확신하지 못합니다.
그것은 것입니다 하지 그 사실$a^\dagger_s(k)|0\rangle=b^\dagger_s(k)|0\rangle$. 또한 표기법$|k\rangle $모호합니다. 상태있어$|k,s\rangle =a^\dagger_s(k)|0\rangle$운동량을 가진 하나의 입자 를 포함$k$ 및 스핀 상태 $s$ 그리고 상태 $|\tilde k,\tilde s\rangle =b^\dagger_s(k)|0\rangle$운동량을 가진 하나의 반입자 를 포함$k$ 및 스핀 상태 $s$. 예를 들어 [1], 섹션 5.4를 참조하십시오.
[1] GBFolland, 양자 장 이론. 수학자를위한 관광 가이드, Math. Surveys & Monographs 149, AMS, 2008.
운영자 $a$입자 소멸 연산자 인 반면$b^{\dagger}$반입자 생성 연산자입니다. 진공 상태에서 작동,$a_{s}(k)|0\rangle=0$,하지만 $b^{\dagger}_{s}(k)|0\rangle\neq0$. 사실로,$b^{\dagger}_{s}(k)|0\rangle$ 1 입자 반 페르미온 상태 (1 입자 페르미온 상태와 동일하지 않음)입니다.
사이의 공통성 $a$ 과 $b^{\dagger}$그들이 각각 입자를 만드는 것이 아닙니다. 오히려 그들은 각각 페르미온 수를 다음과 같이 감소시킬 수 있습니다.$1$. (페르미온 수는 존재하는 페르미온의 수에서 안티 페르미온의 수를 뺀 값입니다. 따라서 진공 상태에서는 0입니다.) 단일 입자 페르미온 상태에서 작용$a_{s}(k)|k,s\rangle=|0\rangle$, 추진력으로 페르미온을 몰살 $k$ 그리고 회전 $s$. 켤레 필드$\Psi^{\dagger}$ (또는 $\bar{\Psi}=\Psi^{\dagger}\gamma_{0}$) 관련 $a^{\dagger}$, 페르미온을 생성하고 $b$, 그것은 반 페르미온을 전멸시킵니다. 그러므로,$\Psi^{\dagger}$ 페르미온 수를 증가시킬 것입니다 $1$.