동종 PDE, 변수 변경
PDE가 있습니다 $\dfrac{df}{d \xi}-\xi\dfrac{d x_1}{d \xi}=0$ 동종 $\xi$, 어디 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 의 기능이다 $x_1,\cdots,x_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, 차례로 기능 $\xi$ (그래서, $\dfrac{df}{d \xi}$ 총 미분).
나는 또한 $\xi=y/z\in\mathbb{R}$, 어디 $y,z\in\mathbb{R}$, 그리고 하나는 PDE가 균질하면 $\xi$ 나는 가지고있다 $\dfrac{df}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=0$.
나는이 간격을 놓쳤다. 첫 번째 ODE에 다음을 곱할 수 있다고 상상합니다.$\dfrac{d\xi}{d y}=\dfrac{1}{z}$, 그래서
$$\dfrac{df}{d \xi}\dfrac{d\xi}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d \xi}\dfrac{d\xi}{d y}=\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\dfrac{d x_i}{d\xi}\dfrac{d\xi}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\dfrac{d x_i}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=\dfrac{d f}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=0.$$
하지만 확실하지 않습니다. 실제로 나는 동질성이라는 사실에서만 이것을 어떻게 진술하는지 알고 싶습니다.
정말 고마워.
관련 : 두 총 파생 상품 간의 동등성
답변
그것을 가정 $f:\textbf{R}^n\rightarrow\textbf{R}$ 과 $f=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ 의 기능입니다 $n$변수. 그렇게 말함으로써$x_i=x_i(\xi)$, 다음 $C:\overline{x}=\{x_1(\xi),x_2(\xi),\ldots,x_n(\xi)\}$, $\xi\in\textbf{R}$, 다음 $C$ 하나의 차원 개체입니다 $\textbf{R}^n$ 따라서 $C$ 곡선이다 $\textbf{R}^n$. 그때 $$ \frac{df}{d\xi}=\sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial x_k}\frac{dx_k}{d\xi} $$ 파생 상품 $f$ 알롱 $C$ (또는 총 미분 $f$ 곡선을 따라 $C$). 방정식도 있습니다. $$ \frac{df}{d\xi}-\xi\frac{dx_1}{d\xi}=0\Leftrightarrow \sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial x_k}\frac{dx_k}{d\xi}=\xi\frac{dx_1}{d\xi} \tag 1 $$ 만약 $\xi=u y$, 다음 $\frac{d\xi}{dy}=u$. 그 후 $$ \frac{df}{d\xi}-\xi\frac{dx_1}{d\xi}=0\Leftrightarrow \frac{df}{dy}\frac{dy}{d\xi}-\xi\frac{dx_1}{dy}\frac{dy}{d\xi}=0\Leftrightarrow \frac{df}{dy}\frac{1}{u}-\xi\frac{dx_1}{dy}\frac{1}{u}=0\Leftrightarrow $$ $$ \frac{df}{dy}-\xi\frac{dx_1}{dy}=0.\tag 2 $$ 이것은 변수 변경에 대한 첫 번째 질문에 대한 답변입니다.
동질성에 대하여
그러나 $f$ 균질 한 기능이면 훨씬 더
기능 $f$ 정도의 동질 $\lambda$. 그런 다음 설정$x_i=uy_i$ 방정식 (1)에서 우리는 (그것을 알고 $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ 과 $(x_1,x_2,\ldots,x_n)\rightarrow x_1$ 균질합니다. 즉 $f(uy_1,uy_2,\ldots,uy_n)=u^{\lambda}f(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ 과 $(ux_1)=ux_1$ 학위 1) : $$ \sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial x_k}(uy_1,uy_2,\ldots,uy_n)\left(u\frac{dy_k}{d\xi}\right)-\xi\left(u\frac{dy_1}{d\xi}\right)=0\Leftrightarrow $$ $$ u^{\lambda-1}\sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial y_k}(y_1,y_2,\ldots,y_n)\left(u\frac{dy_k}{d\xi}\right)-\xi u\frac{dy_1}{d\xi}=0 $$ $$ u^{\lambda-1}\sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial y_k}(y_1,y_2,\ldots,y_n)\frac{dy_k}{d\xi}-\xi \frac{dy_1}{d\xi}=0.\tag 3 $$ (그때 $f(x_1,x_2,\ldots ,x_n)$ 정도의 동질 $\lambda$, 다음 $\frac{\partial f}{\partial x_{j}}$ 정도의 동질 $\lambda-1$ 즉 $\frac{\partial f}{\partial x_j}(uy_1,uy_2,\ldots,uy_j,\ldots,uy_n)=u^{\lambda-1}\frac{\partial f}{\partial x_j}(y_1,y_2,\ldots,y_n)$). 따라서 언제$\lambda=1$이면 (3)은 다음과 같습니다. $$ \sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial y_k}\frac{dy_k}{d\xi}-\xi\frac{dy_1}{d\xi}=0.\tag 4 $$ 따라서 $f=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ 차수가 1의 동종인 경우 방정식 (1)은 동종 PDE입니다 (다음 형식의 변수 변환에서 불변). $x_i=uy_i$, $i=1,2,\ldots,n$).