두 자연수 사이의 제곱 수

Question

주어진 자연수 $m>n\in \mathbb{N}$ 사이에 몇 개의 사각형이 있습니까? $m$ 과 $n$? 즉, 얼마나 많은 자연수$k\in \mathbb{N}$ 그것을 만족시키다 $n \leq k^2\leq m$?

우리가 가장 큰 사각형을 알면 $k^2=s\leq m$ 그리고 가장 작은 정사각형 $\tilde k^2=\tilde{s}\geq n$, 내가 찾고있는 사각형의 수는 $k-\tilde{k}+1$,하지만이 사각형을 찾는 간단한 방법이 있습니까? 나는 크기의 함수 인 경계로 괜찮을 것입니다.$m-n$.

Answer 1

두 자연수 사이의 제곱 수 $m$ 과 $n$ = $\begin{align} \lfloor \sqrt{m} \rfloor - \lceil \sqrt{n} \rceil + 1\end{align}$.

증명 : 하자$\begin{equation} n \leq a^2 \leq k^2 \leq (a+s)^2 \leq m \end{equation}$ 어디 $a$ 제곱이 다음보다 크거나 같은 가장 작은 자연수입니다. $n$ 과 $a+s$ 제곱이 m보다 작거나 같은 가장 큰 자연수입니다.

자, 간단한 관찰에서 $\begin{equation} a = \lceil \sqrt{n} \rceil \end{equation}$ 과 $\begin{equation} a+s = \lfloor \sqrt{m} \rfloor \end{equation}$ 두 자연수 사이의 제곱의 수는 $s+1$.